Question

Wie stelle ich diese Exponentialgleichung auf?

Der Antikörperwert beträgt nach der Impfung 60 IE/L. Der Antikörperwert sinkt exponentiell mit der Halbwertszeit von 2 Jahren.

Erstellen Sie die Gleichung der Funktion B.

Answer 1

Halbierungsszeit = 2 Jahre
Eine Zeitspanne = t / 2 ( t in Jahren )
Beispiel :
t = 2 => 1 =>  1/2 ^1
t = 4 => 2 => 1/2 ^2
b0 = 60
b ( t ) = b0 * 1/2 ^(t/2)

b ( t ) = 60 * 1/2 ^(t/2)

Comments

Ich hätte die so aufgestellt:

30 = 60 * a ^2

Das dürfte dann wohl komplett falsch sein.

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Nein, das ist völlig korrekt.

Löse nach a auf und du kommst auf dasselbe Ergebnis wie in den

bisherigen Antworten. :)

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30 = 60 * a ^2

Woher hast du die 30 ? Sie ist als
Angabe nicht gegeben.

Die Halbwertzeit bedeutet : in dieser Zeit
hat sich der Anfangswert halbiert
B0 = 60
B0 * 0.5 dann wiederum eine Halbierung
B0 * 0.5 * 0.5 dann wiederum eine Halbierung
B0 * 0.5 * 0.5 * 0.5 dann wiederum eine Halbierung usw

B0 = 60
B0 = 60 * 0.5 ^1 = 30
B0 = 60 * 0.5 ^2 = 15
B0 = 60 * 0.5 ^3 = 7.5

Jetzt müssen wir noch einmal neu zuordnen
t = 2 wird zur Hochzahl 1
t = 4 wird zur Hochzahl 2
t = 8 wird zur Hochzahl 3

Umrechnung t /2 = Hochzahl

B ( t ) = B0 * 0.5 ^ ( t/2 )

Falls zu kompliziert dann wieder melden
dann muß ich mir noch etwas einfallen
lassen.

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Dachte wenn die Halbwertszeit gesucht ist, muss man vom Ausgangswert (in dem Fall 60) dann 30 nehmen

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Die Halbwertzeit ist mit 2 Jahren schon
angegeben.

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Was würde denn meine Gleichung dann aussagen?
Wenn ich sage: 30 = 60 * a^2? Was würde man damit berechnen?

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30 = 60 * a^2

a = 0.7071
Im Sachzusammenhang gedeutet
b ( t ) = 60 * 0.7071 ^ t
b ( 2 ) = 30

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Danke für deine Hilfe.

Was würde man denn mit dem a = 0.7071 berechnen? Was würden die 0.7071 für ein Wert sein bzw. aussagen?

Ich habe da immer starke Probleme, einzusetzen wann ich einen Wert auf der linken Seite und wann auf der rechten Seite der Gleichung einzutragen habe

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Potenz funktion
Die Potenz ist ein feste Größe
Die Basis ist variabel
f ( x ) = x^2

Exponentialfunktion
f ( x ) =  2 ^x
Die Potenz ist variabel
Die Basis ist fest

a = 0.7071
Im Sachzusammenhang gedeutet
f ( x ) = 60 * 0.7071 ^ x

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Die Potenz ist ein feste Größe
Die Potenz ist variabel

Das Ding heißt "Exponent".

Answer 2

Ich vermute mal die Funktion \(B\) soll den noch vorhandenen Antikörperwert nach einer Zeitspanne \(t\) (in Jahren) beschreiben.

Setzt man den Zeitpunkt nach der Impfung auf \(t=0\), so ergibt sich also zu Beginn \(B(0)=60\).

Weiter ist bekannt, dass die Halbwertszeit zwei Jahre beträgt, d.h. nach jeweils \(2\) Jahren ist der Antikörperwert um die Hälfte exponentiell gesunken.

Damit ist nach einer Zeitspanne von \(2n\) \((n\in \mathbb{N})\) Jahren nur noch ein Antikörperwert von \(\frac{1}{2^n}\cdot B(0)\) vorhanden (alle \(2\) Jahre wird der verbleibende Antikörperwert mit \(\frac{1}{2}\) multipliziert).

Damit folgt \(B(x)=B(2n)= \frac{1}{2^n}\cdot B(0)=\frac{1}{2^\frac{x}{2}} \cdot B(0) \) an den einzelnen Stellen \(x=2n\).

Da der gesamte Zerfall durchgängig der gleiche exponentielle Prozess ist, können wir von der Einschränkung absehen und sagen, dass \(B(x)=\frac{1}{2^{\frac{x}{2}}} \cdot B(0)=\frac{1}{2^\frac{x}{2}} \cdot 60\) für alle \(x\in \mathbb{R}_0^+\), woraus sich die gesuchte Gleichung ergibt.

Comments

Danke für die Antwort, mir ist das aber ein bisschen zu kompliziert

Answer 3

B(t) = 60*a^t

a berechnen:

1/2= a^2

2^-1= a^2

a= (2^-1)^(1/2)= 2^(-1/2)= 2^(-0,5)

B(t) = 60*2^(-0,5t)

mit e-Fkt.:

B(t) = 60*e^(-0,5*ln2*t) = e^(-0,34657t)

Allgemein gilt, wenn die HWZ h gegeben ist.

N(t)= N(0)*0,5^(t/h), t in der jeweiligen Zeiteinheit z.B. Jahre, Tag, Stunde, etc.