Bestimmen sie den Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Question

$$ Gegeben\quad sei\quad eine\quad Gerade\quad g\quad mit\quad der\quad Gleichung\quad 4x-3y+15=0\quad sowie\quad die\quad Punkte\quad P1\quad (2,1),\quad P2\quad (-3,6).\quad Bestimmen\quad Sie\quad den\quad Abstand\quad di\quad des\quad Punktes\quad Pi\quad (i=1,2)\quad von\quad der\quad Geraden\quad g.\quad $$


Lösung soll sein P1: d=4    P2: d=3

Answer 1

Die Gerade  g  hat die Funktionsgleichung  y = 4/3·x + 5. Sei  Q(x | g(x))  ein Punkt auf  g. Das Quadrat  des Abstands  d(x)  der Punkte  Q  und  P(2 | 1)  voneinander berechnet sich nach Pythagoras aus
d²(x) = (x - 2)² + (g(x) - 1)² = (x - 2)² + (4/3·x + 5 - 1)² = (5/3·x + 2)² + 16.
Der Abstand des Punktes  P  von der Geraden  g  entspricht dem Minimum der Funktion  d. Das Minimum von  d²  liegt offensichtlich bei  16, daher ist der gesuchte Abstand gleich  4.

Comments

Würde es auch mit dem Vektor gehen?