Wie kann ich Beweisen das f'(x) = x^2 auch f'(x) = 2x ist?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich Beweisen das f'(x) = x^2 auch f'(x) = 2x ist ?

Problem/Ansatz:

Ich habe auch einen Ansatz, also

f'(x) = x^2

f'(1) = 2

f'(2) = 4

...

f'(x) = 2x

Aber ich weiß halt nicht wie ich das noch zeigen kannn?

Comments

Wie kann ich Beweisen das f'(x) = x^{2} auch f'(x) = 2x ist ?

Meinst du:

Wie kann ich beweisen, dass zur Funktion f(x) = x^{2} die Ableitung f'(x) = 2x ist?

Answer 1

Falls du die Aussage von Gast az0815 zeigen willst, kannst du einfach die Definition der Ableitung benutzen: \(f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}\). Damit erhältst du

$$ \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^2 -x^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x \rightarrow 2x$$

für \(\Delta x\to 0\).

Comments

wie kommt der zweite schritt zustande? Wo kommt das ^2 her ?

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Der zweite Schritt kommt dadurch zustande, dass deine Funktion \(f(x)=x^2\) ist. Wir können \(f(x)\) und \(f(x+\Delta x)\) mit \(x^2\) und \((x+\Delta x)^2\) ersetzen.

Answer 2

Ich nehme an du meinst
f ( x ) = x^2

Beweis über den Differentialkoeffizienten

f ( x + h ) = ( x + h ) ^2

[ ( x + h ) ^2 - x^2 ] / [ x + h - x ]
( x^2 + 2xh + h^2 - x^2 ) / h
( 2xh + h^2 ) / h
h * ( 2x + h )  / h
2x + h
lim h -> 0 = 2x
f ´( x ) = 2x

Comments

Was soll denn ein Differentialkoeffizient sein?

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Den richtigen Ableitungsstrich auf seiner Tastatur findet er auch nicht...

Hier ein Tipp: Er befindet sich rechts neben der Ä-Taste.

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Was soll denn ein Differentialkoeffizient sein?
Danke für den Fehlerhinweis.

Answer 3

Aloha :)

Du kannst den Differentialquotienten berechnen:$$f'(x_0)\coloneqq\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Das Problem ist die Grenzwertbildung, denn wenn du für \(x\) einfach \(x_0\) einsetzen würdest, erhältst du im Nenner eine Null, und durch Null kann man ja nicht dividieren. Daher musst du den Bruch erst etwas umformen, indem du \(f(x)=x^2\) einsetzt und danach im Zähler die dritte binomische Formel anwendest:$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{(x+x_0)\cdot\cancel{(x-x_0)}}{\cancel{x-x_0}}=\lim\limits_{x\to x_0}\left(x+x_0\right)=x_0+x_0=2x_0$$Also ist \(f'(x_0)=2x_0\) bzw. \(f'(x)=2x\).

Answer 4

Mit dem Differenzenquotienten

Answer 5

Falls, das gemeint ist:

Comments

Wieso hast du um deine Brüche hinter (lim h -> 0) Klammern ?