Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Da fehlen natürlich einige Umformungsschritte. Ziel muss es immer sein, eine große Umformung in mehrere kleinere Umformungen aufzuteilen. In diesem Fall würde ich eine "nahrhafte Eins" multiplizieren:
$$E=mc^2=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad\implies$$$$E^2=\frac{m_0^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\underbrace{\left(1-\frac{v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)}_{=1}=\frac{m_0^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)+\frac{m_0^2c^4}{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\frac{v^2}{c^2}$$Im ersten Summanden werden wir dadurch den Nenner los und im zweiten Summanden können wir \(c^2\) im Zähler und Nenner kürzen:$$E^2=m_0^2c^4+\frac{m_0^2c^2v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}=m_0^2c^4+\overbrace{\underbrace{\frac{m_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}}_{=m^2}\cdot v^2}^{=p^2}\cdot c^2=m_0^2c^4+p^2c^2$$
Die Multiplikation mit einer \(1\) oder die Addition einer \(0\) sind manchmal sehr hilfreich.
