Brüche lösen, Definitionsmenge

Question

Aufgabe:

x+1/x-1 = 2x+1/2x+3

und

3x/x+1 - 2x/x+2 = 1

Problem/Ansatz:

Hallo. Ich muss die Bruchgleichung lösen und die Definitionsmenge angeben und eine Probe durchführen.

Allerdings verstehe ich das nicht und weiß auch nicht wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Lautet die Aufgabe

(x + 1)/(x - 1) = (2·x + 1)/(2·x + 3)

Dann wäre die Lösung: x = - 2/3

Bei der Aufgabe

3·x/(x + 1) - 2·x/(x + 2) = 1

wäre die Lösung: x = 2

Kontrolliere zunächst ob meine Annahme der Gleichungen richtig ist und Kontrolliere auch das Ergebnis.

Answer 2

Multipliziere mit den Nennern. Dabei entstehen Terme mit x², die sich aber gegenseitig aufheben.

:-)

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu a) In der Definitionsmenge müssen wir die Werte ausklammern, bei denen einer der Nenner null wird, also ist hier \(D=\mathbb R\setminus\{1;-\frac32\}\). Die Rechnung sieht z.B. so aus:

$$\left.\frac{x+1}{x-1}=\frac{2x+1}{2x+3}\quad\right|\text{Zähler umformen}$$$$\left.\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{2x+3-2}{2x+3}\quad\right|\text{Brüche aufteilen}$$$$\left.\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{2x+3}{2x+3}-\frac{2}{2x+3}\quad\right|\text{Brüche kürzen}$$$$\left.1+\frac{2}{x-1}=1-\frac{2}{2x+3}\quad\right|-1$$$$\left.\frac{2}{x-1}=-\frac{2}{2x+3}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{x-1}{2}=-\frac{2x+3}{2}\quad\right|\cdot2$$$$\left.x-1=-2x-3\quad\right|+2x$$$$\left.3x-1=-3\quad\right|+1$$$$\left.3x=-2\quad\right|\colon3$$$$x=-\frac23$$

zu b) Hier dürfen wir \((-1)\) und \((-2)\) nicht einsetzen, weil wir sonst durch Null dividieren würden. Also ist die Definitionsmegne hier \(D=\mathbb R\setminus\{-1;-2\}\). Eine Rechnung geht etwa so:

$$\left.\frac{3x}{x+1}-\frac{2x}{x+2}=1\quad\right|\text{Brüche über Kreuz multiplizieren}$$$$\left.\frac{3x(x+2)}{(x+1)(x+2)}-\frac{2x(x+1)}{(x+2)(x+1)}=1\quad\right|\cdot(x+2)(x+1)$$$$\left.3x(x+2)-2x(x+1)=(x+2)(x+1)\quad\right|\text{Terme ausmultiplizieren}$$$$\left.3x^2+6x-2x^2-2x=x^2+3x+2\quad\right|\text{Terme links zusammenfassen}$$$$\left.x^2+4x=x^2+3x+2\quad\right|-x^2$$$$\left.4x=3x+2\quad\right|-3x$$$$x=2$$