Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgenden Aussagen gelten

Question

Aufgabe:

Aufgabe:Beweise, dass für jedes Dreieck \( A B C \) und für jede Gerade \( g \) die folgenden Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade \( g \) durch den Mittelpunkt \( B^{\prime} \) der Seite \( \overline{A C} \) verlāuft und parallel zur Geraden \( A B \) ist, dann schneidet die Gerade \( g \) die Seite \( \overline{B C} \) in deren Mittelpunkt \( A^{\prime} \).

b) Wenn die Gerade \( g \) durch den Mittelpunkt \( B^{\prime} \) der Seite \( \overline{A C} \) und den Mittelpunkt \( A^{\prime} \) der Seite \( \overline{B C} \) verläuft, dann ist die Gerade \( g \) parallel zur Geraden \( A B \).

c) Die Verbindungsstrecke \( \overline{A^{\prime} B^{\prime}} \) des Mittelpunkts \( A^{\prime} \) der Seite \( \overline{B C} \) und des Mittelpunkts \( B^{\prime} \) der Seite \( \overline{A C} \) ist halb so lang wie die Dreieckseite \( \overline{A B} \)

Hinweise:

1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen, da die obigen Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensātze sind.

2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch Mittellinie dieses Dreiecks. Die in b) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst der Satz über die Mittellinien im Dreieck:

In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

Aufgabe 610813 aus der 61. Mathematik-Olympiade. Da die Schulrunde allerdings beendet ist, kann die Aufgabe gelöst werden.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgenden Aussagen gelten:

Stichworte: knobelaufgabe

Aufgabe:

Beweise, dass für jedes Dreieck \( A B C \) und für jede Gerade \( g \) die folgenden Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade \( g \) durch den Mittelpunkt \( B^{\prime} \) der Seite \( \overline{A C} \) verlāuft und parallel zur Geraden \( A B \) ist, dann schneidet die Gerade \( g \) die Seite \( \overline{B C} \) in deren Mittelpunkt \( A^{\prime} \).

b) Wenn die Gerade \( g \) durch den Mittelpunkt \( B^{\prime} \) der Seite \( \overline{A C} \) und den Mittelpunkt \( A^{\prime} \) der Seite \( \overline{B C} \) verläuft, dann ist die Gerade \( g \) parallel zur Geraden \( A B \).

c) Die Verbindungsstrecke \( \overline{A^{\prime} B^{\prime}} \) des Mittelpunkts \( A^{\prime} \) der Seite \( \overline{B C} \) und des Mittelpunkts \( B^{\prime} \) der Seite \( \overline{A C} \) ist halb so lang wie die Dreieckseite \( \overline{A B} \)

Hinweise:

1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen, da die obigen Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensātze sind.

2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch Mittellinie dieses Dreiecks. Die in \( \mathrm{b} \) ) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst der Satz über die Mittellinien im Dreieck:

In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

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Vom Duplikat:

Titel: Wie kann man diese Aufgabe ohne Strahlensatz beweisen?

Stichworte: strahlensatz,beweise

Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgende Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC verläuft und parallel zur Geraden AB ist, dann schneidet die Gerade g die Seite BC in deren Mittelpunkt A'.

b) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC und den Mittelpunkt A' der Seite BC verläuft, dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.

c) Die Verbindungsstrecke A'B' des Mittelpunkts A' der Seite BC und des Mittelpunkts B' der Seite AC ist halb so lang wie die Dreieckseite AB.

Hinweise:

Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsaätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensätzen erfolgen, da die obige Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensätze sind.

Danke schon mal voraus!

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Vom Duplikat:

Titel: Beweise mithilfe von Kongruenzsätzen, dass für jedes Dreieck ABC und für jede gerade g die folgenden Aussagen gelten

Stichworte: geometrie,kongruenz

Beweise mithilfe von Kongruenzsätzen, dass für jedes Dreieck ABC und für jede gerade g die folgenden Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC und den Mittelpunkt A' der
Seite BC verläuft, dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.

b) Die Verbindungsstrecke A'B' des Mittelpunkts A' der Seite BC und des Mittelpunkts
B' der Seite AC ist halb so lang wie die Dreieckseite AB.

Brauche hier echt Hilfe. Danke

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Vom Duplikat:

Titel: Wie kann ich es mit Kongruenzsätzen lösen?

Stichworte: kongruenz

Aufgabe:

Beweise mithilfe von Kongruenzsätzen, dass für jedes Dreieck ABC und für jede gerade g die folgenden Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC und den Mittelpunkt A' der
Seite BC verläuft, dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich es mit Kongruenzsätzen lösen?

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Vom Duplikat:

Titel: Kannst du diese Aussagen beweisen (beachte die Hinweise!)?

Stichworte: geometrische,beweise

Aufgabe:     Beweise, dass für jedes Dreieck ABC und für jede Gerade g die folgenden Aussagen gelten:

                        a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC verläuft und parallel zur Geraden AB ist, dann                              schneidet die Gerade g die Seite BC in deren Mittelpunkt A'.

                    b) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC und den Mittelpunkt A' der Seite BC verläuft,                                   dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.

                        c) Die Verbindungsstrecke A'B' des Mittelpunkts A' der Seite BC und des Mittelpunkts B' der Seite AC ist                                   halb so lang wie die Dreiecksseite AB.

     Hinweise:  

             1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu                             Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensätzen erfolgen, da die obigen                              Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensätze sind.

             2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch Mittellinie dieses Dreiecks.                Die in b) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst der Satz über die Mittellinien im Dreieck:

               In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

                                                    Kannst du diese Aussagen beweisen (beachte die Hinweise!)?

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Diese Aufgabe gab es vor ein paar Wochen schon einmal.

Answer 1

a) gilt wegen des ersten Strahlensatzes.

b) gilt wegen der Umkehrung des ersten Strahlensatzes.

c) Ist eine Anwendung des zweiten Strahlensatzes.

Comments

Aber kannst du es auch grafisch oder rechnerisch beweisen?

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Graphisch kann man das illustrieren (nicht beweisen). Der Beweis ist für jede Aussage der entsprechende Strahlensatz.

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Vermutlich möchte er es grafisch illustriert haben und dazu den Strahlensatz aufgeschrieben haben. Also so wie es der Lehrer gerne hätte, damit er nicht noch abschreiben braucht ohne nachzudenken.

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Ja, genau @Der-Mathecoach

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a)

Zu zeigen: A' ist Mittelpunkt von BC.

Beweis: Werden zwei von einem Punkt C ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den einen Strahl, wie die Abschnitte auf dem anderen Strahl.

b)

Zu zeigen: g ist parallel zu AB,

Beweis: Zwei Strahlen gehen von einem Punkt aus, werden von zwei Geraden geschnitten und die Abschnitte auf dem einen Strahl stehen im gleichen Verhältnis, wie die Abschnitte auf dem anderen Strahl, dann sind die schneidenden Geraden parallel.

c)

Zu zeigen: |\( \overline{B'A'} \)| = 0,5·|\( \overline{AB} \)|

Beweis: Nach a) sind AB und B'A' parallel. Werden zwei von einem Punkt C ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, si verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen, wie sie von C ausgehenden Abschnitte auf beiden Strahlen.

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Können Sie das darauf anwenden?

Beweise mithilfe von Kongruenzsätzen, dass für jedes Dreieck ABC und für jede gerade g die folgenden Aussagen gelten:

a) Wenn die Gerade g durch den Mittelpunkt B' der Seite AC und den Mittelpunkt A' der
Seite BC verläuft, dann ist die Gerade g parallel zur Geraden AB.

b) Die Verbindungsstrecke A'B' des Mittelpunkts A' der Seite BC und des Mittelpunkts
B' der Seite AC ist halb so lang wie die Dreieckseite AB.

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mtrx-mach eine andere Aufgabe dazu

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mtrx-mach eine andere Aufgabe dazu

Lieber nicht. Das würde nur dazu führen das eine gleiche Aufgabe auch wieder mit dieser verschmolzen wird.

Daran ändert es auch nichts das der Aufgabensteller damals die Aufgabe nicht vollständig hingeschrieben hat.

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Aus der Aufgabe:

Die Beweise sollten ... ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen,

Rolands Antwort:

a) gilt wegen des ersten Strahlensatzes.

b) gilt wegen der Umkehrung des ersten Strahlensatzes.

c) Ist eine Anwendung des zweiten Strahlensatzes.

:-)

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In der Aufgabenstellung steht, das diese Aufgabe ohne Anwendung von Strahlensätzen erfolgen soll!

Answer 2

Wie kann ich die Aufgabe lösen?

Z.B. mit dem Strahlensatz.

Comments

Wie kann ich das mit folgenden Hinweisen lösen:

Ich komme da nicht weiter

Hinweise:

1. Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen, da die obigen Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensātze sind.

2. Eine Strecke, die die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, heißt auch Mittellinie dieses Dreiecks. Die in b) und c) zu zeigenden Aussagen sind zusammengefasst der Satz über die Mittellinien im Dreieck:

In jedem Dreieck ist die Mittellinie zweier Seiten parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.

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aber ohne Anwendung von Strahlensātzen erfolgen,

steht in der Aufgabe.

Deine Antwort:

Z.B. mit dem Strahlensatz

Hmmm...

:-)

Answer 3

a) Sei \(S\) der Schnittpunkt von \(g\) und \(\overline{BC}\).

Das Dreieck \(\triangle D\) sei das Dreieck, dass man bekommt indem man das Dreieck \(\triangle B'SC\) mit dem Faktor \(k\coloneqq \frac{|AC|}{|B'C|}\) streckt.

Dann sind \(\triangle D\) und \(\triangle B'SC\) ähnlich. Insbesondere gibt es zu jedem Winkel im Dreieck \(\triangle D\) einen Winkel gleicher Größe in \(\triangle B'SC\).

Es ist \(\angle BAC = \angle SB'C\) weil Stufenwinkel. Die Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle B'SC\) haben bei \(C\) den gleichen Winkel. Außerdem ist \(|AC| = k\cdot |B'C|\). Also ist \(\triangle ABC\) kongruent zu \(\triangle D\) wegen Kongruenzsatz WSW.

Somit ist auch \(\triangle ABC\) ähnlich zu \(\triangle B'SC\).

Wegen \(k = 2\) ist dann \(|BC| = 2\cdot |BS|\) und somit \(S=A'\).

Comments

Kannst du mir auch noch bitte bei b und c helfen?

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Könnten sie das noch auf b und c anwenden? Danke

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Könnten sie bitte auch noch b und c machen, das wäre supernett von Ihnen. Dankeschön

Answer 4

Die Beweise sollten unter Nutzung von Kongruenzsaätzen, Eigenschaften von Parallelogrammen, Sätzen zu Winkeln an geschnittenen Parallelen, aber ohne Anwendung von Strahlensätzen erfolgen, da die obige Aussagen Grundlagen für elementargeometrische Beweise der Strahlensätze sind.

Du siehst hier vermutlicherweise 3 Parallelogramme, die über die Diagonale in zwei kongruente Dreiecke zerlegt wurden. Daher sind alle kleinen Dreiecke kongruent zueinander.

Damit solltest du denke ich alle drei Aufgaben beweisen können.