Ableitung mit Kettenregel zweidimensional

Question

Aufgabe:

eine differenzierbaren Funktion g: ℝ²→ℝ mit g(2,1)=1  D₁g(2,1)=2 D₂g(2,1)=3

es sei f: ℝ→ℝ mit f(x)=g(2x,g(2x,x^2))

Problem/Ansatz:

ich soll die Ableitung von f an der Stelle x=1 berechnen.

ich weiss, dass ich irgendwie Kettenregel verwenden soll, aber wie geht das hier.

Answer 1

Aloha :)

Wir haben hier:$$f(x)=g(2x;g(2x;x^2))\quad;\quad g(2;1)=1\;;\;D_1g(2;1)=2\;;\;D_2g(2;1)=3$$

$$f'(x)=\underbrace{\frac{\partial g(2x;g(2x;x^2))}{\partial(2x)}}_{=D_1g(2x;g(2x;x^2))}\cdot\underbrace{\frac{d(2x)}{dx}}_{=2}+\underbrace{\frac{\partial g(2x;g(2x;x^2))}{\partial g(2x;x^2)}}_{=D_2g(2x;g(2x;x^2))}\cdot\frac{dg(2x;x^2)}{dx}$$Für den letzen Faktor brauchen wir nochmal die Kettenregel$$\frac{dg(2x;x^2)}{dx}=\underbrace{\frac{\partial g(2x;x^2)}{2x}}_{=D_1g(2x;x^2)}\!\cdot\!\underbrace{\frac{d(2x)}{dx}}_{=2}+\underbrace{\frac{\partial g(2x;x^2)}{\partial(x^2)}}_{=D_2g(2x;x^2)}\!\cdot\!\underbrace{\frac{d(x^2)}{dx}}_{=2x}$$$$\phantom{\frac{dg(2x;x^2)}{dx}}=2D_1g(2x;x^2)+2xD_2g(2x;x^2)$$Wir fassen zusammen:$$f'(x)=2D_1g(2x;g(2x;x^2))+D_2g(2x;g(2x;x^2))\cdot\left(2D_1g(2x;x^2)+2xD_2g(2x;x^2)\right)$$

Speziell an der Stelle \(x=1\) haben wir daher:$$f'(1)=2D_1g(2;\overbrace{g(2;1)}^{=1})+D_2g(2;\overbrace{g(2;1)}^{=1})\cdot\left(2D_1g(2;1)+2\cdot1\cdot D_2g(2;1)\right)$$$$\phantom{f'(1)}=2\,\overbrace{D_1g(2;1)}^{=2}+\overbrace{D_2g(2;1)}^{=3}\cdot(2\,\overbrace{D_1g(2;1)}^{=2}+2\,\overbrace{D_2g(2;1)}^{=3})$$$$\phantom{f'(1)}=2\cdot2+3\cdot(2\cdot2+2\cdot3)=34$$

Comments

Vielen Danke, bei der 2.Argument schaffe ich immer nicht.

Danke für die vollständige Lösung.

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vorletzte Schritt wäre 2×2+3·(2·2+2·3)=37

ansonsten perfekt

nochmal danke!

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Lol, ja der Faktor \(2\) am Ende ist mir irgendwie durchgerutscht...

Habe es noch korrigiert ;)