Kettenregel bei der partiellen Ableitung

Question

In einer Aufgabe musste ich partiell Ableiten und brauchte dazu die Kettenregel. Mein Resultat und alles ist richtig, doch wollte ich nachfragen, ob ich auch richtig überlegt habe (oder einfach Glück gehabt:

Man hat die Funktion g(x,y) = [(1+x)(1+y)^a]^1/(1-b) -1   (a und b sind Konstanten, x und y nahe bei 0)

Um dies zu berechnen gibt es eine Formel: f(x,y) ≈ f(x₀,y₀) + f1'(x_o,y₀)(x-x_o) + f2'(x_o,y_o)(y-y_o)

Ich habe nun den grün markierten Teil berechnet:

1/(1-b)[(1+x₀)(1+y₀)^a]^{1/(1-b) -1} (0 + (1+y_o)^a) = 1/(1-b)

Nun meine Frage:

Gibt es 1/(1-b), weil im violetten Teil man so die innere Ableitung rechnet:

Man multipliziert die blaue Klammer aus und leitet dann ab

1(1+y_o)^a + x_o(1+y_o)^a , dies leitet man nun ab.

 

Stimmen meine Überlegungen? Ich hoffe jemand blickt bei meinen Erklärungsversuchen noch durch^^

Answer 1

Deine Fragestellung enthält einige formale Schwächen, auf die ich aber nicht näher eingehen möchte.

Deine grundsätzliche Frage ist ja (wenn ich es schließlich doch richtig verstanden haben sollte):

Kann man

(1 + x₀) ( 1 + y₀ ) ^a

nach x₀ ableiten, indem man ausmultipliziert:

= (1 + y₀) ^a + x₀ (1 + y₀) ^a

und dies dann ableitet und dadurch erhält:

 [ (1 + y₀) ^a + x₀ (1 + y₀) ^a ] ' = 0 + (1 + y₀) ^a

Die Antwort ist schlicht und einfach: Ja, natürlich, das kann man so machen.

 

Man kann aber genauso gut auch die Produktregel anwenden und kommt zum selben Ergebnis:

[ (1 + x₀) ( 1 + y₀ ) ^a ] '

= (1 + x₀) ' * ( 1 + y₀ ) ^a + (1 + x₀) * [ (1 + y₀ ) ^a ] '

= 1 * ( 1 + y₀ ) ^a + (1 + x₀) * 0

= ( 1 + y₀ ) ^a

Ich hoffe, dass dies deine eigentliche Frage war und dass ich dir mit meiner Antwort helfen konnte.