Hallo! Angenommen wir haben eine Funktion f(t,u(t),p(t)).
Wir gehen davon aus, dass die differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen hier auch existieren. Es geht nicht um die Formalitäten.
Wir wollen nun die partielle Ableitung df/dp bestimmen.
Ich habe dafür 2 Lösungswege, aber bei dem einen taucht ein Minus auf, was theoretisch zu viel ist. Wo liegt mein Fehler?
1. Weg: Da alle Komponenten von t abhängen, ist t die einzige unabhängige Komponente. Dann ist \( \frac{df}{dp} = \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dp} = \frac{\frac{df}{dt}}{\frac{dp}{dt}} \)
2. Weg: In der Ableitung df/dt kommt die partielle Ableitung df/dp vor, deswegen stellen wir um:
\( \frac{df}{dt} = \frac{df}{dt} \cdot \frac{dt}{dt} + \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}+ \frac{df}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} = \frac{df}{dt} + \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}+ \frac{df}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} \iff 0 = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}+ \frac{df}{dp} \cdot \frac{dp}{dt} \)
Umstellen nach df/dp liefert:
\( \frac{df}{dp} = \frac{\frac{-df}{du} \cdot \frac{du}{dt}}{\frac{dp}{dt}} = - \frac{\frac{df}{dt}}{\frac{dp}{dt}} \)
