Wie berechnet man die Extrempunkte von f(x)=0.2x^3+0.2x^2-4x?

Question

Berechne die Extrempunkte der Funktion $$ f(x)=0.2x^3+0.2x^2-4x $$ (Bitte mit Lösungsweg)

Answer 1

Funktion und Ableitungen
f(x) = 0.2·x^3 + 0.2·x^2 - 4·x
f'(x) = 0.6·x^2 + 0.4·x - 4
f''(x) = 1.2·x + 0.4

Extrempunkte f'(x) = 0
0.6·x^2 + 0.4·x - 4 = 0 → x = - 1/3 - √61/3 ∨ x = - 1/3 + √61/3

f(- 1/3 - √61/3) = 8.406 → HP(-2.937 | 8.406)
f(- 1/3 + √61/3) = -5.710 → TP(2.270 | -5.710)

Skizze

~plot~ 0.2x^3+0.2x^2-4x;{-2.937|8.406};{2.270|-5.710};[[-10|10|-6|10]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

y= 0,2x³+0,2x²-4x

y'= 0.6 x^2 +0.4 x -4 =0

0.6 x^2 +0.4 x -4 =0 |: 0.6

x^2 + (2/3) x -20/3 =0 z.B. pq-Formel

x_1.2= -1/3 ± √(1/9 +20/3)

x_1.2= -1/3 ± √61/9 

x_1.2= -1/3 ± (√61)/3

x₁= -1/3 + (√61)/3 ≈ 2.27

x₂= -1/3 - (√61)/3 ≈ -2.94

dann noch den y-Wert berechnen

Answer 3

f(x)=0,2x³+0,2x²-4x

f´(x)=0,6x^2+0,4x-4

0,6x^2+0,4x-4=0

x₁≈-2,9     y₁=...

x₂≈2,3      y₂=...

Art der Extrema:

f´´(x)=1,2x+0,4

f´´(-2,9)=1,2*(-2,9)+0,4<0   Maximum

f´´(2,3)=1,2*(2,3)+0,4>0  Minimum