Zeigen Sie, dass es eine Zahl k ∈ N gibt, so dass n die Zahl 99...9 mit k Stellen teilt.

Question

Guten Morgen Mathefreunde,

ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe :

Es sei n ∈ N eine zu 10 teilerfremde Zahl.
Zeigen Sie, dass es eine Zahl k ∈ N gibt, so dass n die Zahl 99...9 mit k Stellen teilt.

Ich habe zwar die Lösung, aber schon die Lösung verstehe ich leider nicht :/

Könnte mir bitte jemand diese Aufgabe erklären

Liebe Grüße

Comments

Ich habe zwar die Lösung

Wie lautet sie?

die Lösung verstehe ich leider nicht

Dann solltest du darauf hinarbeiten, die Lösung zu verstehen, anstatt nach einer anderen Lösung zu fragen, die du dann wahrscheinlich ebenfalls nicht verstehen wirst.

Du könntest darauf hinarbeiten, die Lösung zu verstehen, indem du die Lösung hier veröffentlichst und angibst, welche der dort gemachten Schlussfolgerungen du nicht nachvollziehen kannst.

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das hab eich ja bereits getan und habe es immer noch nicht verstanden sonst würde ich ja auch nicht hier fragen und hab außerdem nach einer Erklärung gebeten nicht nach einer Lösung :)

Aber bedanke mich trotzdem

Gruß

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Vielleicht bringt dich folgendes Experiment in die Nähe eines Verständnisses:
Nehmen wir mal n=7. Dann gilt \(1:7=0,\overline{142857}\).

Nun multiplziere die Periode mit 7:
142857*7=999999.

Vielleicht kannst du das Beispiel verallgemeinern, oder solange weiter
experimentieren, bis der Groschen bzgl. der vorhandenen Lösung fällt.
Gruß ermanus

Answer 1

Mögliche Idee: Ist die natürliche Zahl n teilerfremd zu 10, also ggT(n,10)=1, dann ist

10^(n-1) mod n = 1.

Dann ist die (n-1)-stellige Zahl 99...9=10^(n-1)-1 durch n teilbar.

Das ist im Grunde genommen nicht schwer einzusehen, man kann sich das ja auch mit ein paar Zahlenbeispielen veranschaulichen. Im Rahmen der Teilbarkeitslehre in den Klassen 5/6 wird der Zusammenhang auch gerne benutzt, um sofortperiodische Dezimalbrüche in Brüche umzuwandeln und umgekehrt.

Comments

Ich habe das für ein paar Werte von n überprüft.

Bei n=21 ist die 20-stellige Zahl 999...999 aber nicht durch 21 teilbar.

10^{20} mod 21 =16

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Aha, vielen Dank für den Hinweis. Es ist 10^(21-3) mod 21 = 1.

Da habe ich einen Denkfehler gemacht.

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Die mod n Formel gilt allgemein nur für Primzahlen n.

Answer 2

Es sei n ∈ N eine zu 10 teilerfremde Zahl.

Zum Beispiel 3.

dass es eine Zahl k ∈ N gibt,

Zum Beispiel 8.

die Zahl 99...9 mit k Stellen

Das wäre 99999999.

so dass n die Zahl 99...9 mit k Stellen teilt.

Die 3 ist ein Teiler von 99999999.

Für n = 3 wäre also 8 ein möglicher Wert für k.

Offensichtlich ist 17 ein Teiler von 9999999999999999. Für n = 17 wäre also 16 ein möglicher Wert für k.

Aufgabe ist, zu zeigen dass es für jeden Wert von n einen möglichen Wert für k gibt, falls ggT(n, 10) = 1 ist.

Answer 3

Ich modifiziere die Idee von gast az0815 so:

Es ist \(10^{\phi(n)}\equiv 1\) mod \(n\),

wobei \(\phi(n)\) die Euler-Funktion, also die Ordnung der primen
Restklassengruppe modulo n ist.

Also: \(k=\phi(n)\) tut's.