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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (6+12x-2x²)*e-0,5x

1.) Der Graph von f, die Koordinatenachsen und die senkrechte Gerade x = 4 bilden den Rand eines Raubtiergeheges, 1 LE = 10m. Bestimmen Sie den Flächeninhalt. Zeigen Sie zunächst, dass F(x) = (4x²-8x-28)*e-0,5x eine Stammfunktion von f ist.


Frage:

Ist mein Ergebnis zum Flächeninhalt richtig? Würde auf rund 5,41m kommen.

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Beste Antwort
Ist mein Ergebnis zum Flächeninhalt richtig? Würde auf rund 5,41m2 kommen.


Ich komme eher auf ca. 28,5

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Ich komme eher auf ca. 28,5


.........

1 LE = 10m.

Danke...  28,5 LE2 dann, nicht m2

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Nimm die Stammfunktion und berechne

\( F(4) - F(0) \)

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Aloha :)

Zu der gegebenen Funktion$$f(x)=(6+12x-2x^2)\cdot e^{-\frac x2}$$sollen wir zeigen, dass$$F(x)=(4x^2-8x-28)\cdot e^{-\frac x2}$$eine Stammfunktion ist.

Da die Funktion \(f(x)\) etwas aufwendig zu integrieren ist, zeigen wir stattdessen, dass die Ableitung der Stammfunktion \(F(x)\) gleich der Funktion \(f(x)\) ist. Nach dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dann auch gezeigt, dass \(F(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist.

$$F'(x)=\left(\underbrace{(4x^2-8x-28)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-\frac x2}}_{=v}\right)'=\underbrace{(8x-8)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-\frac x2}}_{=v}+\underbrace{(4x^2-8x-28)}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-\frac12\right)e^{-\frac x2}}_{=v'}$$$$\phantom{F'(x)}=(8x-8)\cdot e^{-\frac x2}+(-2x^2+4x+14)\cdot e^{-\frac x2}=(8x-8-2x^2+4x+14)\cdot e^{-\frac x2}$$$$\phantom{F'(x)}=(12x+6-2x^2)\cdot e^{-\frac x2}=f(x)\quad\checkmark$$

Der gesuchte Flächeninhalt \(A\) ist nun:$$A=\int\limits_0^4f(x)dx=F(4)-F(0)$$$$\phantom{A}=(4\cdot4^2-8\cdot4-28)\cdot e^{-\frac 42}-(4\cdot0^2-8\cdot0-28)\cdot e^{-\frac02}=4e^{-2}+28$$$$\phantom{A}\approx28,541341\ldots$$

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