Wie groß ist der Erwartungwert und die Standardabweichung von X?

Question

Aufgabe:

Aus einer Schale entnimmt man blind nacheinander vier kugeln und legt sie vor sich auf den tisch. X sei die anzahl roter Kugeln, die man zeht. Wie groß ist der Erwartungwert und die Standardabweichung von X?

In der Schale sind insgesamt 10 Kugeln (7 rot und 3 blau)

Problem/Ansatz:

ich weiß wie man erwartungswert und standardabweichung brechnet, aber ich weiß nicht wie man diese berechnet, wenn man die Kugeln nicht zurück legt

Answer 1

Hallo,

\(X\) ist hypergeometrisch verteilt. (Fächermodell)

Die Wahrscheinlichkeit für \(k\) rote Kugeln ist bei diesem Zufallsexperiment:$$P(X=k)=\frac{\begin{pmatrix} 7\\k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4-k \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}}$$ Der Erwartungswert ist definiert durch:$$\begin{aligned}E(X)&=\sum \limits_{i}x_iP(X=x_i) \\ &=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)\end{aligned}$$ Für diskrete Zufallsvariablen gilt der Verschiebungssatz, d. h. es gilt:$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\sum \limits_{i}x_i^2P(X=x_i)-(E(X))^2$$Die Standardabweichung ist bekanntlich die Wurzel der Varianz.

Answer 2

Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeitsverteilung

P(X = 0) = 0
P(X = 1) = 4·42/5040 = 1/30
P(X = 2) = 6·252/5040 = 9/30
P(X = 3) = 4·630/5040 = 15/30
P(X = 4) = 840/5040 = 5/30

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

E(X) = 0·0 + 1·1/30 + 2·9/30 + 3·15/30 + 4·5/30 = 2.8
V(X) = (0 - 2.8)^2·0 + (1 - 2.8)^2·1/30 + (2 - 2.8)^2·9/30 + (3 - 2.8)^2·15/30 + (4 - 2.8)^2·5/30 = 0.56
σ(X) = √0.56 = 0.7483

Mit den Formeln der Hypergeometrischen Verteilung

Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

E(X) = n·M / N = 4·7 / 10 = 2.8
V(X) = n·M / N·(1 - M/N)·(N - n)/(N - 1) = 4·7 / 10·(1 - 7/10)·(10 - 4)/(10 - 1) = 0.56
σ(X) = √0.56 = 0.7483