Dgl: \sqrt{1+(y')^2} dx = ({y\over 2x})^{1/2} dx+ ({x\over 2y} )^{1/2} dy

Question

Wie löst man die Dgl.

$$ \sqrt{1+(y')^2} dx = ({y\over 2x})^{1/2} dx+ ({x\over 2y} )^{1/2} dy $$

Answer 1

Hallo,

Woher stammt diese DGL? :)

a) teile die DGL durch dx

√(1 +(y')^2) =√(y/(2x)) +  √(x/(2y))  *y'

b) Substituiere y'=z

√(1 +z^2) =√(y/(2x)) +  √(x/(2y))  *z

c) Löse diese Gleichung nach z auf:

\( z^{2} \) +\( \frac{2yz}{x-2y} \) +\( \frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy} \) =0

d) Lösung via pq-Formel:

z_1.2= \( \frac{-y}{x-2y} \) ± \( \sqrt{\frac{y^{2}}{(x-2y)^2}- \frac{y(y-2x)}{x(x-2y)}} \)

e) Resubstituiere , Du bekommst 2 DGL :

y₁' =\( \frac{-y}{x-2y} \) + \( \sqrt{\frac{y^{2}}{(x-2y)^2}- \frac{y(y-2x)}{x(x-2y)}} \)

y₂'=\( \frac{-y}{x-2y} \) - \( \sqrt{\frac{y^{2}}{(x-2y)^2}- \frac{y(y-2x)}{x(x-2y)}} \)

f) Lösung durch Substitution z=y/x , y=z x , y'=z+z'x

Ergebnis:

\(\left\{(2+\sqrt{2}) \ln \left(1-\sqrt{\frac{y(x)}{x}}\right)-(\sqrt{2}-2) \ln \left(\sqrt{\frac{y(x)}{x}}+1\right)=c_{1}-2 \ln (x)\right\} \)
\( \left\{(\sqrt{2}-2) \ln \left(1-\sqrt{\frac{y(x)}{x}}\right)-(2+\sqrt{2}) \ln \left(\sqrt{\frac{y(x)}{x}}+1\right)=c_{1}+2 \ln (x)\right\} \)

Bei den ln- Termen müssen Betragsstriche stehen.

Viel Spaß damit :)