Aloha :)
1) Der Betrag der Determinante aus drei 3-dimensionalen Vektoren gibt das von den Vektoren aufgespannte Volumen an. Wenn die 3 Vektoren zueinander parallel sind oder alle drei in einer Ebene liegen, ist die Determinante null. Die Determinante ist genau dann ungleich null, wenn die drei Vektoren ein 3-dimensionales Volumen aufspannen, also linear unabhängig voneinander sind.
zu a) Hier kannst du die erste Zeile von der zweiten Zeile subtrahieren. Dann erkennst du, dass die zweite und dritte Zeile bis auf einen konstaten Faktor identisch sind. Daher ist die Determinante gleich null.$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\1 & 3 & 4\\0 & 2 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 1\\0 & 2 & 2\end{array}\right|=0$$
zu b) Hier kannst du das 3-fache der zweiten Zeile zur ersten addieren und das 4-fache der zweiten Zeile zur dritten addieren. Danach kannst du die Determinante nach der ersten Spalte entwickeln$$\left|\begin{array}{rrr}3 & 2 & -1\\-1 & 2 & 2\\4 & 1 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 8 & 5\\-1 & 2 & 2\\0 & 9 & 12\end{array}\right|=8\cdot12-9\cdot5=96-45=51\ne0$$
zu c) Hier kannst du das 2-fache der zweiten Zeile von der ersten subtrahieren und das 5-fache der zweiten Zeile von der dritten subtrahieren. Anschließend kannst du die Determinante nach der ersten Spalte entwickeln.$$\left|\begin{array}{rrr}2 & 1 & 5\\1 & 5 & 2\\5 & 2 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & -9 & 1\\1 & 5 & 2\\0 & -23 & -9\end{array}\right|=-((-9)\cdot(-9)-(-23)\cdot1)=-104\ne0$$
Im Fall (a) sind die drei Vektoren also linear abhängig und in den Fällen (b) sowie (c) sind die drei Vektoren linear unabhängig.
2) Hier musst du \(a\) so bestimmen, dass die Determinante gleich \(0\) wird.
zu a) Wir substrahieren das 3-fache der letzten Zeile von der ersten und entwickeln die Determinante nach der letzten Spalte.$$\left|\begin{array}{rrr}a & 0 & 3\\1 & 1 & 0\\2 & a & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}a-6 & -3a & 0\\1 & 1 & 0\\2 & a & 1\end{array}\right|=a-6-(-3a)=4a-6\stackrel{!}{=0}\implies a=\frac32$$Für \(a=\frac32\) sind die 3 Vektoren linear abhängig.
zu b) Wir substrahieren die erste Spalte von der zweiten. Dann ziehen wir den Faktor \((a-2)\) aus der zweiten Spalte vor die Determnante. Anschließend entwickeln wir die Determinante nach der ersten Zeile$$\left|\begin{array}{rrr}-1 & -1 & a\\2 & a & -1\\a & 2 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}-1 & 0 & a\\2 & a-2 & -1\\a & 2-a & 2\end{array}\right|=(a-2)\left|\begin{array}{rrr}-1 & 0 & a\\2 & 1 & -1\\a & -1 & 2\end{array}\right|$$$$=(a-2)\left(-1+a(-2-a)\right)=-(a-2)(1+2a+a^2)=-(a-2)(a+1)^2\stackrel!=0$$$$\implies a=2\;\lor\;a=-1$$Für \(a=-1\) oder \(a=2\) sind die 3 Vektoren linear abhängig.
