S(t) = 50*e^{kt} + 12. Berechnen Sie k

Question

$$S(t) = 50\cdot\text{e}^{kt} + 12. \text{ Berechnen Sie k.} $$

Die Anzahl der Spam-Mails kann näherungsweise durch die Funktion S beschrieben werden: $$S(t) = 50 \cdot 0.6^{t} + 12$$ Die Funktion S kann auch in der Form \(S(t) = 50\cdot\text{e}^{kt} + 12\)  angegeben werden. Berechnen Sie k.

Wie rechne ich das? Mir fehlt ja das t hier, ohne das kann ich k ja nicht berechnen oder?

Answer 1

Es muss \(0.6=\text{e}^k\) gelten. Darais folgt \(k=\ln\left(0.6\right)\).

Comments

Was bedeutet das In?

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\(\ln()\) ist der natürliche Logarithmus.

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Kannst du mir das bitte schülerfreundlich erklären, wann man den natürlichen Logarithmus braucht? Mich wundert das ein bisschen, weil ich das bisher noch bei keiner Exponentialfunktion gebraucht habe

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Möglicherweise kann dein Taschenrechner Gleichungen wie \(0.6=\text{e}^k\) auch selbst zu \(k=-0.5108\dots\) auflösen. Bei anderen, weniger leistungsfähigen, Taschenrechnern muss man dazu eben \(\ln(0.6)\) eintippen.

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Die 0,6 nimmt man also von der obrigen Gleichung S(t)=50*0,6^t +12 her?

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Die eigentliche Gleichung lautet: $$ 50\cdot 0.6^{t} + 12 = 50\cdot\text{e}^{k\cdot t} + 12 $$ Sie kann zu $$ 0.6 = \text{e}^{k} $$ vereinfacht werden.

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Puh, ich verstehe das leider überhaupt nicht. Muss mich da ein bisschen einlesen

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Die erste Gleichung habe ich deine Frage entnommen. Die zweite ergibt sich durch Vereinfachen der ersten. Dein Taschenrechner kann aber vermutlich bereits die erste Gleichung direkt lösen.

Answer 2

0.6^t

0.6 schreiben wir als e^{ln(0.6)}

(e^{ln(0.6)})^t = e^{ln(0.6)·t}

k = ln(0.6) ≈ - 0.5108

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Wann und warum benötigt man denn den Logarithmus? Das kommt mir gerade zum ersten Mal unter

Answer 3

ln(x) ist die Umkehrfunktion zu e^x.

Weißt du was eine Umkehrfunktion ist?

Ein Beispiel:

Für nicht-negative x gilt:

√x ist die Umkehrfunktion von x^2.

√(25)=5      und     5^2=25

Entsprechend gilt:

0,6=e^k   und   k=log_e(0,6)=ln(0,6)

:-)

Comments

Danke. Nein, ich habe noch nie was davon gehört. Deine Erklärung ist soweit verständlich, aber wann braucht man die Umkehrfunktion (Logarithmusfunktion)?

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Den Logarithmus brauchst du, um eine Gleichung nach dem Exponenten aufzulösen.

\(a^x=b   \Rightarrow   x=\log_a(b)\)

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Ah okay, war mir bis jetzt neu, weil wenn ich bisher eine Exponentialfunktion hatte, die ich nach dem Exponenten aufgelöst habe, hat mir das ganz einfach der Taschenrechner gemacht ohne Logarithmusfunktion