Finden Sie in den folgenden Mengen eine Regelmäßigkeit und formulieren Sie die Mengen dementsprechend um:

Question

Aufgabe:

Finden Sie in den folgenden Mengen eine Regelmäßigkeit und formulieren Sie die Mengen dementsprechend um:
M7 = {−1, 0, 3, 8, 15, 24, 35, ...}

Problem/Ansatz: Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter... Die Reihe wird immer um eine ungerade Zahl erhöht. D.h. -1 +1 = 0,

0+3=3, 3+5=8 usw. Wie schreibe ich die Menge nun um? Mein Ansatz geht nicht auf: x = x + 2k +1 (k kann alle natürlichen Zahlen annehmen

Answer 1

Betrachte nicht M7 = {−1, 0, 3, 8, 15, 24, 35, ...}, sonden die Nachfolger

1+ M7 = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...}

Macht es Klick?

Comments

Sehr schön :-)

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abakus du bist ein Genie :D

Answer 2

x_k = x_k-1 + 2(k-2) + 1

Comments

Kannst du das noch genauer erklären? Vor allem die Schreibweise :/

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Das Kreuz bedeutet Addition. Oder was verstehst Du nicht?

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x_(k-1)   

Was bedeutet das?

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x_k = x_k-1 + 2(k-2) + 1

Beispiel k = 2: Das x an k = zweiter Stelle ist gleich das x an erster Stelle + 2*(2-2) + 1

Beispiel k = 3: Das x an k = dritter Stelle ist gleich das x an zweiter Stelle + 2*(3-2) + 1

usw.

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Ah okay :D Ich danke dir! Dann hat bei meiner Lösung quasi nur die Klammer gefehlt.

Wie würde es mit der richtigen Schreibweise bei der Aufgabe heißen?

M6 = {..., −15, −12, −9, −6, −3, 0}

Ich habe es so, aber ich bin mir der mathematischen Schreibweise noch nicht wirklich bewusst:

x=k=k-3 , k=3

Hier müsste es aber richtig sein:

M8 = {−4, 9, −16, 25, −36, 49, −64, 81, −100, ...}

x=(-1)^k+1 * k²  , k > 1

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M6:   x_k = x_k-1 + 3

M8:   x_k = (-1)^k * (k+1)²

Answer 3

\(x_n=-1+(2\cdot 1-1)+(2\cdot 2-1)+\cdots+(2\cdot(n-1)-1)=\)

\(-1+2(1+2+\cdots+(n-1))+(n-1)\cdot(-1)=\)

\(-1+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}-(n-1)=-1+(n-1)n-n+1=n^2-2n\).

Ich habe dabei die Gaussche Summenformel \(1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}\)

verwendet.

Für \(M\) erhalten wir also

\(M=\{n^2-2n\; | \;n=1,2,3,\cdots\}\)

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Aber abakus' Lösung ist viel besser !

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Answer 4

M7 = {−1, 0, 3, 8, 15, 24, 35, ...}

Hallo,

Wenn du zu jeder Zahl 1 addierst, erhältst du

0,1,4,9,...

bzw.

0^2, 1^2, 2^2, 3^2,...

bzw.

(1-1)^2, (2-1)^2, (3-1)^2, (4-1)^2

also

(n-1)^2

Jetzt noch 1 subtrahieren:

(n-1)^2-1

Ausmultipliziert

n^2-2n

:-)