Aloha :)
Beim Trägheitsmoment muss der senkrechte Abstand \(\vec r_\perp\) von der Rotationsachse verwendet werden:$$J_z=\int\limits_V{\vec r_\perp}^2\,K(\vec r)\,dV$$Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz$$lautet der senkrechte Abstand von der \(z\)-Achse:$$\vec r_\perp=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}$$Zur Abtastung des Körpers \(K\) muss gelten:$$x^2+y^2=r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi=r^2\stackrel{!}{\le} z^2\implies r\le z$$Daher sind die Integrationsgrenzen:$$r\in[0;z]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[0;1]$$
Wir setzen alles zusammen:
$$J_z=\int\limits_{r=0}^z\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=0}^1\underbrace{\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}^2}_{=r^2}\overbrace{(\underbrace{x^2+y^2}_{=r^2}+z^2)}^{=K(\vec r)}\,r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_{r=0}^z\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{z=0}^1r^3(r^2+z^2)\,dr\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{J_z}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=0}^1\left(\;\,\int\limits_{r=0}^z\,(r^5+r^3z^2)\,dr\right)dz=2\pi\int\limits_{z=0}^1\left[\frac{r^6}{6}+\frac{r^4z^2}{4}\right]_{r=0}^z\,dz$$$$\phantom{J_z}=2\pi\int\limits_{z=0}^1\left(\frac{z^6}{6}+\frac{z^6}{4}\right)\,dz=2\pi\int\limits_{z=0}^1\frac{5}{12}z^6\,dz=\frac{10\pi}{12}\left[\frac{z^7}{7}\right]_{z=0}^1=\frac{10}{84}\pi=\frac{5}{42}\pi$$
