Konvergenz einer rekursiv definierten Folge zeigen

Question

Es sei $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ die rekursiv definierte Folge

$$a_1 := 0, a_{n+1} := \frac{2}{3}a_n+3, n \in \mathbb{N}$$
Hallo ihr Lieben,
1) Ich will zeigen, dass $0 \leq a_n \leq 9$ für alle $n \in \mathbb{N}$
2) Die Folge auf Konvergenz untersuchen

Zu 1) habe ich mir zunächst 10 Folgenglieder angesehen und daraus ergab sich, dass wohl 9 in Frage kommt als obere Grenze für die Folge.
Dann habe ich ausgehend von dieser Vermutung die Beschränktheit der Folge bewiesen durch vollständige Induktion und mit der gleichen Vorgehensweise gezeigt, dass die Folge streng monoton wächst. $0 \leq a_n \leq 9$ für alle $n \in \mathbb{N}$ habe ich also gezeigt.

Bei 2) weiß ich nicht so recht, was ich noch machen soll. Die Folge ist beschränkt und monoton steigend. Das Monotoniekriterium müsste also schon die Konvergenz liefern. Ich könnte noch den Grenzwert bestimmen gegen den die Folge konvergiert (9), aber das ist nicht gefordert

Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar

Comments

Hallo,

Du hast recht: Wenn Du gezeigt hast, dass die Folge beschränkt ist und monoton, dann ist sie auch konvergent. Fertig

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)$$a_{n+1}=\frac23a_n+3\quad;\quad a_1\coloneqq0$$

1) Wir zeigen $0\le a_n\le9$ durch vollständige Induktion.

Verankerung bei $n=1$:

Wegen $0\le a_1\le9$ ist die Behauptung für $n=1$ wahr$\quad\checkmark$.

Induktionsschritt $n\to n+1$:

Nach Induktionsvoraussetzung ist $0\le a_n\le 9$, daher gilt:

$$\frac23\cdot0\le\frac23a_n\le\frac23\cdot9\implies0\le\frac23a_n\le6\implies0+3\le\frac23a_n+3\le6+3\implies$$$$3\le\frac23a_n+3\le9\implies0\le\frac23a_n+3\le9\implies0\le a_{n+1}\le9\quad\checkmark$$Daher gilt:$\quad0\le a_n\le9\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$

2) Nach (1) ist die Folge beschränkt. Daraus schließen wir:$$0\le a_n\le9\implies0\ge-a_n\ge-9\implies0\ge-\frac13a_n\ge-3\implies3\ge-\frac13a_n+3\ge0$$Damit gilt für die Monotonie:$$a_{n+1}-a_n=\frac23a_n+3-a_n=-\frac13a_n+3\ge0\implies a_{n+1}\ge a_n$$Die Folge ist also monoton wachsend.

Da jede beschränkte monotone Folge konvergiert, gilt dies auch für unsere Folge $(a_n)$.