Aloha :)$$a_{n+1}=\frac23a_n+3\quad;\quad a_1\coloneqq0$$
1) Wir zeigen \(0\le a_n\le9\) durch vollständige Induktion.
Verankerung bei \(n=1\):
Wegen \(0\le a_1\le9\) ist die Behauptung für \(n=1\) wahr\(\quad\checkmark\).
Induktionsschritt \(n\to n+1\):
Nach Induktionsvoraussetzung ist \(0\le a_n\le 9\), daher gilt:
$$\frac23\cdot0\le\frac23a_n\le\frac23\cdot9\implies0\le\frac23a_n\le6\implies0+3\le\frac23a_n+3\le6+3\implies$$$$3\le\frac23a_n+3\le9\implies0\le\frac23a_n+3\le9\implies0\le a_{n+1}\le9\quad\checkmark$$Daher gilt:\(\quad0\le a_n\le9\quad\text{für alle }n\in\mathbb N\)
2) Nach (1) ist die Folge beschränkt. Daraus schließen wir:$$0\le a_n\le9\implies0\ge-a_n\ge-9\implies0\ge-\frac13a_n\ge-3\implies3\ge-\frac13a_n+3\ge0$$Damit gilt für die Monotonie:$$a_{n+1}-a_n=\frac23a_n+3-a_n=-\frac13a_n+3\ge0\implies a_{n+1}\ge a_n$$Die Folge ist also monoton wachsend.
Da jede beschränkte monotone Folge konvergiert, gilt dies auch für unsere Folge \((a_n)\).
