Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden

Question

Aufgabe:

Es gibt zwei geraden, welche Windschiefe zueinander verlaufen.

g: x= (0/4/2) + r•(2/-1/0)

h: x= (3/0/3) + s•(0/5/-1)

Problem/Ansatz:

Suche hierzu den Abstand der beiden Geraden. Ich habe als Ergebnis einmal 3 LE und 1,97 LE heraus. Könnte das stimmen ?

Comments

Wie kann es sein, dass die Geraden zwei Abstände voneinander haben?

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... 3 LE und 1,97 LE ... Könnte das stimmen ?

Keine der Längen stimmt, es ist deutlich weniger als 1LE

Answer 1

Aloha :)

Du ziehst einen Vektor \(\vec a\) von einem beliebigen Punkt der einen Geraden zu einem beliebigen Punkt der anderen Geraden. Hier bietet es sich an, den Vektor \(\vec a\) vom Aufpunkt der Geraden \(g\) zum Aufpunkt der Geraden \(h\) zu wählen:$$\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}$$

Du bestimmst einen Normalenvektor \(\vec n\), der auf den Richtungsvektoren beider Geraden senkrecht steht:$$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-0\\0-(-2)\\10-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\10\end{pmatrix}$$

Der Abstand \(d\) der beiden Geraden ist die Länge der Projektion von \(\vec a\) auf \(\vec n\):$$d=\left|\frac{\vec a\cdot\vec n}{\left\|\vec n\right\|}\right|=\left|\frac{\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\10\end{pmatrix}}{\sqrt{\begin{pmatrix}1\\2\\10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\10\end{pmatrix}}}\right|=\left|\frac{3-8+10}{\sqrt{1+4+100}}\right|=\frac{5}{\sqrt{105}}=\sqrt{\frac{5}{21}}$$

Comments

Geht das auch, wenn ich einen Verbindnugsvektor nutzen möchte. Sprich, schaut man dann, dass das Skalarprodukt mit den jeweiligen Richtungsvektoren 0 ist. Dann rechnet man das r und s aus. Könntest du den Weg mal nach dieser Methode machen ?

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Oha, das ist die Bauern-Methode...

Der Verbindungsvektor \(\vec v\) von einem Punkt \(G(r)\) der Geraden \(g\) zu einem Punkt \(H(s)\) der Geraden \(h\) lautet:$$\vec v=\vec x_h-\vec x_g=\left[\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}\right]-\left[\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\right]$$$$\vec v=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}-r\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$$

Wir suchen \(s\) und \(t\) derart, dass \(\vec v\) auf den Richtungsvektoren beider Geraden senkrecht steht:

$$0\stackrel!=\vec v\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=(6+4+0)+s(0-5+0)-r(4+1+0)\implies$$$$0=10-5s-5r\implies s+r=2$$

$$0\stackrel!=\vec v\cdot\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}=(0-20-1)+s(0+25+1)-r(0-5+0)\implies$$$$0=-21+26s+5r\implies 26s+5r=21$$

Diese beiden Gleichungen kannst du nun lösen:$$21=26s+5r=26s+5(2-s)=21s+10\implies s=\frac{11}{21}$$$$r=2-s=\frac{42}{21}-\frac{11}{21}=\frac{31}{21}$$

Damit hast du den kürzesten Verbindungsvektor \(\vec v\) gefunden:$$\vec v=\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}+\frac{11}{21}\begin{pmatrix}0\\5\\-1\end{pmatrix}-\frac{31}{21}\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec v}=\frac{1}{21}\left(\begin{pmatrix}63\\-84\\21\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\55\\-11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}62\\-31\\0\end{pmatrix}\right)=\frac{1}{21}\begin{pmatrix}1\\2\\10\end{pmatrix}$$

Die Länge dieses Vektors ist der gesuchte Abstand:

$$d=\left\|\vec v\right\|=\frac{1}{21}\sqrt{1+4+100}=\frac{\sqrt{105}}{21}=\sqrt{\frac5{21}}$$

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... sollte man die 'Bauernmethode' öfter brauchen, lohnt es sich, das etwas systematischer zu betrachten:

Die beiden Geraden seien: $$x = p_1 + sr_1 = \begin{pmatrix}0\\ 4\\ 2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\\ x=p_2 + tr_2 =\begin{pmatrix}3\\ 0\\ 3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\ 5\\ -1\end{pmatrix}$$Dann stellt man eine Matrix \(R\) auf:$$R= \begin{pmatrix} r_1& r_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2& 0\\ -1& 5\\ 0& -1\end{pmatrix}$$und löst folgendes Gleichungssystem:$$\begin{aligned}R^TR \cdot \begin{pmatrix}s\\ -t\end{pmatrix} &= R^T \cdot(p_2-p_1) \\ \begin{pmatrix}5& -5\\ -5& 26\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}s\\ -t\end{pmatrix}  &=\begin{pmatrix}2& -1& 0\\ 0& 5& -1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ -4\\ 1\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}10\\ -21\end{pmatrix} \end{aligned}$$mit der Lösung \(s=31/21\) und \(r=11/21\). Einsetzen in die Geradengleichungen liefert dann die Endpunkte der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden.

;-)

Answer 2

Ich bekomme genau √(105) / 21 heraus.

Die beiden Punkte, bei denen die Verbindung senkrecht auf
beiden Geraden steht, entstehen für

s=11/21 und r=31/21 .

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Wie bist du auf r und s gekommen. Kannst du einmal den Rechenschritt zeigen

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Habe jetzt auch dasselbe heraus. Danke

Answer 3

\( \min \left\{\sqrt{((3+0 s)-(0+2 r))^{2}+((0+5 s)-(4-r))^{2}+((3-s)-(2+0 r))^{2}}\right\} \)

\( =\sqrt{\frac{5}{21}} \)

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Der Wurzelausdruck ist die Entfernung ("euklidische Distanz") zwischen zwei Punkten, von denen einer auf g und der andere auf h liegt. Variabel sind dabei r und s, das bedeutet es kommt für die Entfernung darauf an, wo auf der Geraden die Punkte liegen. Der Radikand kann natürlich noch vereinfacht werden.

Das Minimum der Entfernung entspricht dem Abstand der beiden Geraden.