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Aufgabe:

12 Berechnen Sie Nullstellen und Scheitelpunkt.
a) \( f(x)=x^{2}-10 x+9 \)
b) \( f(x)=4 x^{2}+12 x+5 \)
c) \( f(x)=x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{15}{16} \)
d) \( f(x)=\frac{1}{2} x^{2}+9 x+36 \)


Problem/Ansatz:

Wie berechnet man Nullstellen und Scheitelpunkt?

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Nullstellen berechnest du mit Hilfe der pq-Formel:$$x_{1;2}=-\frac{p}2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen:$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac p2$$

Wir machen die (a) mal zusammen:$$f(x)=x^2\,\underbrace{-10}_{=p}\cdot x\,\underbrace{+9}_{=q}$$Das \(p\) ist die Zahl vor dem \(x\), hier ist \(p=-10\). Das \(q\) ist die Zahl ohne \(x\), hier ist \(q=9\). Jetzt halbierst du \(p\) und wechselst das Vorzeichen. Du erhältst \(-\frac p2=5\). Damit lautet die pq-Formel:$$x_{1;2}=5\pm\sqrt{5^2-9}=5\pm\sqrt{25-9}=5\pm\sqrt{16}=5\pm4=\left\{\begin{array}{r}1\\9\end{array}\right.$$Die Nullstellen sind also \(x_1=1\) und \(x_2=9\). Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte davon, also bei \(x_s=\frac{1+9}{2}=5\). Die \(y\)-Koordinate vom Scheitelpunkt bekommst du durch Einsetzen:$$f(5)=5^2-10\cdot5+9=-16$$Zusammengefasst: \(N_1(1|0)\), \(N_2(9|0)\), \(S(5|-16)\).


Bei der Aufgabe (b) musst du zuerst \(4\) ausklammern, um die pq-Formel anwenden zu können:$$f(x)=4x^2+12x+5=4\left(x^2+3x+\frac54\right)$$Du bist ja nun schon gut trainiert mit der pq-Formel und siehst sofort, dass \(p=3\) und \(q=\frac54\) ist. Du änderst das vorzeichen von \(p\), halbierst es und erhältst \(-\frac p2=-\frac32\). Damit liefert die pq-Formel als Nullstellen:$$x_{1;2}=-\frac32\pm\sqrt{\frac{3^2}{2^2}-\frac54}=-\frac32\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{5}{4}}=-\frac32\pm\sqrt1=\left\{\begin{array}{r}-\frac52\\[1ex]-\frac12\end{array}\right.$$Der Scheitelpunkt liegt wieder genau in der Mitte:$$x_s=\frac{-\frac12-\frac52}2=-\frac32$$Den \(y\)-Wert für den Scheitelpunkt bekommst du wieder durch Einsetzen: \(f(-\frac32)=-4\).

Zusammengefasst: \(N_1\left(-\frac52|0\right)\), \(N_2\left(-\frac12|0\right)\), \(S\left(-\frac32|-4\right)\).


Kriegst du die beiden anderen Augaben jetzt alleine hin? Zur Kontrolle:

$$\text{c)}\quad N_1\left(-\frac54\bigg|0\right)\quad;\quad N_2\left(\frac34\bigg|0\right)\quad;\quad S\left(-\frac14\bigg|-1\right)$$

$$\text{d)}\quad N_1\left(-12|0\right)\quad;\quad N_2\left(-6|0\right)\quad;\quad S\left(-9\bigg|-\frac92\right)$$

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f ( x ) = x^2 - 10 * x + 9
Nullstelle
x^2 - 10 * x + 9 = 0
Quadratische Ergänzung oder pq Formel
x^2 - 10x + ( - 5) ^2 - 5^2 = -9
( x - 5) ^2 = -9 + 5^2  
( x -5 ) ^2 = 16  | Wurzel
x- 5 = ± 4
x = ± 4 + 5
x = 9
x = 1
( 9 | 0 )
( 1 | 0 )

Scheitelpunkt
Einfach : der Scheitelpunkt liegt immer in der
Mitte der Nullstellen

x = 5
f ( 5 ) = 5^2 - 10 * 5 + 9 = -16
S ( 5 | -16 )

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Nullstellen: Funktion gleich Null setzen

Scheitelpunkt: erste Ableitung gleich Null setzen

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Hättest du ein Beispiel für mich?

a)

Nullstellen: f(x) = 0

Scheitelpunkt: f ' (x) = 0

Unter Umständen ist das Konzept der Ableitung noch nicht bekannt. Evtl. ist der gewünschte Weg die scheitelpunktsform mittels quadratischer Ergänzung.

Ich gehe davon aus, die Fragestellerin würde wenn sie nicht weiß was eine Ableitung ist, mitteilen dass sie nicht weiß, was eine Ableitung ist.

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a) x^2-10x+9 =0

(x-9)(x-1) =0  (nach Vieta)

Satz vom Nullprodukt:

x=9 v x= 1

Scheitel: quadratische Ergänzung:


x^2-10x+5^2-5^2+9

(x-5)^2-16 -> S(5/-16)

oder mit 1.Ableitung:

2x-10=0

x=5 -> f(x)= -16



b) durch 4 teilen:

x^2+3x+5/4 = 0

pq-Formel!


c) ...


d) x^2+18x+72=0

(x+12)(x+6)= 0

...

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