Prüfen, ob g und h eine Ebene E festlegen!

Question

Ich soll prüfen, ob g und h eine Ebene E festlegen. Und falls ja, eine Gleichung in Parameterform angeben!

als Vektor: (3/-1/4) + x (2/1/-2)      h: (7/1/1) + y (1/2/2)

Kann mir jemand helfen wie das geht? Ich weiß nur dass ich verschiedene Gleichungen aufstellen muss.

Answer 1

Ich führe ein paar Bezeichnungen (Ortsvektoren der Stützpunkte (P und Q) und Richtungsvektoren der beiden Geraden: a und B ein: 

g: r = (3/-1/4) + x (2/1/-2)  = 0P + xa

h: r= (7/1/1) + y (1/2/2) = 0Q + yb

Verschiebe nun b parallel, so dass b durch P geht. Nun muss man schauen, ob PQ zu a und b komplanar ist.

1. Methode

Spatprodukt (PQ, a,b) ist 0 genau dann, wenn die beiden Geraden eine Ebene aufspannen.

2. Methode

'komplanar' direkt nachrechnen:

Kontrollieren, ob xa + yb = PQ = (4,2,-3)       lösbar ist.

2x + y = 4               (I)
x + 2y = 2              (II)

-2x+ 2y = -3          (III)

-------------------------------(I) + (III)

        3y = 1,     → y = 1/3. einsetzen in (I)

2x + 1/3 = 4

2x = 11/3

x= 11/6

Test in (II)

11/6 + 2/3 = 15/6 ≠ 2. Also Widerspruch.

Daher, wenn ich richtige gerechnet habe: die beiden Geraden spannen keine Ebene auf. Sie sind windschief.

(Sorgfältig nachrechnen!)