Integral lösen: sin(2x)*cos²(2x)

Question

Wie löse ich folgendes Integral: \( \int \sin (2 x) * \cos ^{2}(2 x) \)

Komme durch Produktintegration nicht weiter.

Answer 1

Dies geht mittels Substitution: zunaechst y=2x, dann ist dy=(dy/dx)dx =2 dx also dx=dy/2

⇒ 1/2∫ sin(y) cos²(y) dy.  

Eine zweite Substitution verschoenert das Integral. z=cos(y), dann ist :

dz=(dz/dy)dy=-sin(y)dy, also dy=-dz/sin(y)  ( dieses sin(y) kuerzt sich mit dem sin(y) vom Integral)

⇒ -1/2∫ z² dz = -1/6 z³= -1/6 cos³(y)=-1/6 cos³(2x) .

Answer 2

Hi,

mit Substitution brauchts nicht viel mehr als 3-4 Zeilen ;).


Substituiere: u = cos(2x) und somit du = -2sin(2x) dx

-1/2∫u^2 du = -u^3/6 + c = -1/6*cos^3(2x) + c


Und das wars^^.


Grüße