Parallele Geraden (Vektoren)?

Question

Aufgabe:

Parallele Geraden Welche der Geraden sind parallel, welche schneiden sich?

\( \begin{array}{l} \mathrm{g}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+\mathrm{r}\left(\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \\ \mathrm{h}: \overrightarrow{\mathrm{x}}=\left(\begin{array}{r} 5 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)+\mathrm{s}\left(\begin{array}{r} -2 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \end{array} \)
Gerade \( u \) durch \( \mathrm{C}(2|-2| 3) \) und \( \mathrm{D}(-2|0| 1) \),

Gerade \( v \) durch \( \mathrm{E}(2|0| 0) \) und \( \mathrm{F}(0|3| 3) \)

Ich frage mich wie man diese Aufgabe löst, inwiefern Geraden u und v mit den obrigen Vektoren zu tun haben. Gerne eine Beispielrechnung für Gerade u durch C, v durch E würd ich gerne dann selber versuchen.

Answer 1

Schaffst du es die Gerade u durch C und D und die Gerade v durch E und F aufzustellen?

Die Gerade durch die Punke A und B wird wie folgt aufgestellt:

\( g : \overrightarrow x = \overrightarrow {OA} + r \cdot \overrightarrow {AB} \)

Comments

u = (2/-2/3) + r * (-4/2/-2) , v = (2/0/0) + r * (-2/3/3) dann mit g und h vergleichen ob sie parallel sind?

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Genau.

Du siehst das die Richtungsvektoren von g und u linear abhängig sind. Damit könnten die Geraden identisch oder parallel sein. Man prüft dann noch ob der Ortsvektor von v auf der Geraden g liegt.

[1, 0, 2] + r·[2, -1, 1] = [2, -2, 3] → keine Lösung für r und damit wirklich parallel

Weiter siehst du das die Richtungsvektoren von h und v linear abhängig sind. Auch hier prüfen wir ob ein Ortsvektor auf der anderen Geraden liegt.

[5, -3, 2] + r·[-2, 3, 3] = [2, 0, 0] → keine Lösung für r und damit wirklich parallel

damit könnten sich g und h, u und v, g und v sowie h und u schneiden. Dazu setzt man die Geraden gleich

[1, 0, 2] + r·[2, -1, 1] = [5, -3, 2] + s·[-2, 3, 3] --> r = 1.5 ∧ s = 0.5 und damit sind g und h schneident

[2, -2, 3] + r·[-4, 2, -2] = [2, 0, 0] + s·[-2, 3, 3] → keine Lösung und damit sind u und v windschief

[1, 0, 2] + r·[2, -1, 1] = [2, 0, 0] + s·[-2, 3, 3] → keine Lösung und damit sind g und v windschief.

[5, -3, 2] + r·[-2, 3, 3] = [2, -2, 3] + s·[-4, 2, -2] --> keine Lösung und damit sind h und u windschief.