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Aufgabe:

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}.

Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn

|ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB|

dann folgt hieraus

AB || A'B'


Problem/Ansatz:

Komme hier leider gar nicht weiter! Hat jemand eine Idee und könnte mir helfen?

Vielen Dank im Voraus☺️

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2 Antworten

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Hallo

hast du das mal gezeichnet? dann ist der Beweis eigentlich sichtbar!  Stichwort :Strahlensatz

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Ja, habe ich bereits. Bin mir unsicher, wie ich mit dem Beweis anfangen soll!

lul meint mit "Beweis" vielleicht nicht das Beweisen der Aufgabe.

So sieht der Beweis aus:

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}. Wenn |ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB| dann folgt AB || A'B' (Umkehrung eines Strahlensatzes).

So sieht der Beweis aus:

und wie sähe der Beweis aus, wenn man nur Hilberts Axiomensystem voraussetzt?

Gute Frage, Werner. Damit ist der Fehler der Aufgabenstellung - die ja keine Voraussetzungen nennt - schlagartig klar.

... dann folgt AB || A'B' (Umkehrung eines Strahlensatzes).

meinst du damit die Umkehrung des 2. Strahlensatzes?

https://www.geogebra.org/m/duywdhaw

Die Nummerierung der Strahlensätze ist willkürlich. Deshalb lasse ich offen, welchen ich meine.

Aber der zweite Strahlensatz lässt sich doch nicht umkehren! In deinem Link Wolfgang sind die Geraden g und h auch parallel. Dies entspricht nicht meiner Aufgabe oder soll das die Aussage widerlegen?

oder soll das die Aussage widerlegen?

ja

Jede Wenn-Dann-Aussage besitzt eine Umkehrung. Ob sie wahr ist, muss in jedem Falle neu entschieden werden.

Du glaubst also, dass es die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes ist, die hier widerlegt werden soll und nicht die Umkehrung des ersten Strahlensatzes bewiesen werden soll?

Da die Verwirrung jetzt komplett ist, erspare ich mir weitere Antworten.

Aber Roland du hast doch die Umkehrung des ersten Strahlensatzes bewiesen, oder? Was ist in der Aufgabe nun gefordert?

Die Aufgabe hat den entscheidenden Mangel, dass gar nicht gesagt wird, auf welcher Grundlage der Satz:

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}. Wenn |ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB| dann folgt AB || A'B'.

bewiesen werden soll. Ich habe in meinem Beweisvorschlag die fehlende Grundlage eigenmächtig festgelegt. Wie Werner bemerkt hat, ist das natürlich zu billig.

Dein Leseverständnis hat den entscheidenden Mangel, dass gar nicht erkannt wird, dass die von dir zitierte Aussage gar nicht bewiesen werden soll

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Hallo,

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}.

Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn
|ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB|
dann folgt hieraus
AB || A'B'

Diese Aussage lässt sich (so wie sie da steht) widerlegen:

blob.png

oben im Bild ist$$\frac{|ZA'|}{|ZA|} = \frac{|A'B'|}{|AB|} = 2$$und offensichtlich gilt nicht \(AB || A'B'\)

Avatar von 48 k

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