Beweis: Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}

Question

Aufgabe:

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}.

Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn

|ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB|

dann folgt hieraus

AB || A'B'

Problem/Ansatz:

Komme hier leider gar nicht weiter! Hat jemand eine Idee und könnte mir helfen?

Vielen Dank im Voraus☺️

Answer 1

Hallo

hast du das mal gezeichnet? dann ist der Beweis eigentlich sichtbar!  Stichwort :Strahlensatz

Gruß lul

Comments

Ja, habe ich bereits. Bin mir unsicher, wie ich mit dem Beweis anfangen soll!

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lul meint mit "Beweis" vielleicht nicht das Beweisen der Aufgabe.

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So sieht der Beweis aus:

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}. Wenn |ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB| dann folgt AB || A'B' (Umkehrung eines Strahlensatzes).

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So sieht der Beweis aus:

und wie sähe der Beweis aus, wenn man nur Hilberts Axiomensystem voraussetzt?

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Gute Frage, Werner. Damit ist der Fehler der Aufgabenstellung - die ja keine Voraussetzungen nennt - schlagartig klar.

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... dann folgt AB || A'B' (Umkehrung eines Strahlensatzes).

meinst du damit die Umkehrung des 2. Strahlensatzes?

https://www.geogebra.org/m/duywdhaw

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Die Nummerierung der Strahlensätze ist willkürlich. Deshalb lasse ich offen, welchen ich meine.

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Aber der zweite Strahlensatz lässt sich doch nicht umkehren! In deinem Link Wolfgang sind die Geraden g und h auch parallel. Dies entspricht nicht meiner Aufgabe oder soll das die Aussage widerlegen?

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oder soll das die Aussage widerlegen?

ja

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Jede Wenn-Dann-Aussage besitzt eine Umkehrung. Ob sie wahr ist, muss in jedem Falle neu entschieden werden.

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Du glaubst also, dass es die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes ist, die hier widerlegt werden soll und nicht die Umkehrung des ersten Strahlensatzes bewiesen werden soll?

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Da die Verwirrung jetzt komplett ist, erspare ich mir weitere Antworten.

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Aber Roland du hast doch die Umkehrung des ersten Strahlensatzes bewiesen, oder? Was ist in der Aufgabe nun gefordert?

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Die Aufgabe hat den entscheidenden Mangel, dass gar nicht gesagt wird, auf welcher Grundlage der Satz:

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}. Wenn |ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB| dann folgt AB || A'B'.

bewiesen werden soll. Ich habe in meinem Beweisvorschlag die fehlende Grundlage eigenmächtig festgelegt. Wie Werner bemerkt hat, ist das natürlich zu billig.

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Dein Leseverständnis hat den entscheidenden Mangel, dass gar nicht erkannt wird, dass die von dir zitierte Aussage gar nicht bewiesen werden soll

Answer 2

Hallo,

Seien g,h zwei nicht parallele Geraden mit Schnittpunkt Z. Seien außerdem A ,A‘ ∈ g \ {Z} und B, B‘ ∈ h \ {Z}.

Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn
|ZA‘| / |ZA| = |A'B'| / |AB|
dann folgt hieraus
AB || A'B'

Diese Aussage lässt sich (so wie sie da steht) widerlegen:

oben im Bild ist$$\frac{|ZA'|}{|ZA|} = \frac{|A'B'|}{|AB|} = 2$$und offensichtlich gilt nicht \(AB || A'B'\)