Wie muss b gesetzt sein das die folgende Matrix invertierbar ist?

Question

Aufgabe:

Wie muss b gesetzt sein das die folgende Matrix invertierbar ist?

$$ \begin{pmatrix} b & 2 & b & 3b \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & b & 12 \\ 2 & b & 2 & b \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Wie fangt man bei solchen Aufgabentypen an?

Ich kann es mit Determinante versuchen, wenn ich die Leibnizformel nehme und nach b umforme ?

oder muss man es in Dreiecksform bringe und schaue das keine Nullzeile existiert? Oder welche Möglichkeiten gibt es noch?

VG coffee.cup

Comments

Man rechnet Determinanten doch nicht mit der Leibniz Formel aus. Die ist nur für theoretische Überlegungen zu gebrauchen.

Forme die Matrix mit elementaren Zeilen-/Spaltenumformungen um oder nimm Laplace und Sarrus her.

Z.B erste Zeile minus b-mal zweite Zeile, da fällt fast alles weg außer die 2. Dann Laplace auf die erste Zeile. bleibt eine 3x3 Determinante über -> Sarrus oder weiter umformen.

Mit etwas Übung sieht man dann direkt, dass es nur zwei Lösunge geben kann und diese kann man auch noch an der 3x3 Matrix ablesen.

Answer 1

Aloha :)

\(b\) muss so gewählt werden, dass die Determinante der Matrix \(\ne0\) ist:

$$\phantom{=}\left|\begin{array}{rrrr}b & 2 & b & 3b\\1 & 0 & 1 & 3\\4 & 0 & b & 12\\2 & b & 2 & b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}b-b & 2 & b & 3b\\1-1 & 0 & 1 & 3\\4-b & 0 & b & 12\\2-2 & b & 2 & b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}0 & 2 & b & 3b\\0 & 0 & 1 & 3\\4-b & 0 & b & 12\\0 & b & 2 & b\end{array}\right|$$$$=(4-b)\left|\begin{array}{rrrr}2 & b & 3b\\0 & 1 & 3\\b & 2 & b\end{array}\right|=(4-b)\cdot\left(2(b-6)+b(3b-3b)\right)=2(4-b)(b-6)$$Die Matrix ist also invertierbar, falls \(b\ne4\) und \(b\ne6\) gilt

Comments

Wie heißt denn der Schritt/Regel den du gemacht hast um eine 3x3 Matrix herauszubekommen wie du das gemacht hast?

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Ich habe die 4x4-Determinante nach der ersten Spalte entwickelt, danach bleibt eine 3x3-Determinante übrig, die ich ebenfalls nach der ersten Spalte entwickelt habe.

Answer 2

Rechne die Determinante der Matrix in Abhängigkeit von d und finde alle d-Werte , mit denen die Determinante ungleich 0 ist bzw. finde alle Nullstellen von der Determinante , dann weißt du, dass mit diesen d-Werten die Matrix nicht invertierbar ist.

  Z.B. für d=0 beträgt die Determinante der Matrix -48, also ist sie für d=0 invertierbar