Problem bei Reihenkonvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n !} \)

Problem/Ansatz:

Mit Hilfe des Quotientenkriteriums bin ich recht weit gekommen jedoch fehlt mit ein letzter Schritt bei dem ich nicht weiter weiß.

$$\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}*(n+1)!}}{\frac{n^{n}}{3^{n}*n!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}*(n+1)!}*{\frac{3^{n}*n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)^{n}}{3*n^{n}} $$

ab diesem Punkt weiß ich leider nicht weiter, wie ich noch kürzen kann.

Kann mir bitte jemand helfen?

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Answer 1

\(=\frac{1}{3}\cdot(\frac{n+1}{n})^n=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{n})^n\rightarrow\frac{1}{3}e< 1\)

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Vielen Dank!