Zeigen Sie, dass P nicht in der Ebene liegt.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung \(2x_1+ x_2 + x_3 = -1\) sowie der Punkt P(2|3|4).

a) Zeigen Sie, dass P nicht in der Ebene liegt.
b)Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P´, der durch Spiegelung von P an der Ebene entsteht.

Problem/Ansatz: ich bin einfach eine Niete in Mathe und verstehe es nicht ich sitze schon 3 Stunden dran und bekomme diese Aufgabe nicht hin. Kann mir jemand? Helfen ?

Comments

mit der Gleichung 2x1 x2 x3 -1

Das ist keine Gleichung.

Answer 1

b)

Da dieser Teil der Aufgabe noch nicht beantwortet worden ist, versuche ich mich mal in Vektorgeometrie, obwohl das so gar nicht mein Gebiet ist.

Der Ortsvektor zum gespiegelten Punkt P' ist der Ortsvektor zu P minus zweimal der Normaleneinheitsvektor mal den Abstand d von P zur Ebene.

Die Ebene E: 2x₁ + x₂ + x₃ = -1 hat einen Normalenvektor (ein zur Ebene senkrechter Vektor)

\(\vec{n} =  \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

und einen Normaleneinheitsvektor (mit Länge 1) von Normalenvektor dividiert durch dessen Länge, d.h.

\( \vec{n_0} = \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} / \sqrt{2^2+1^2+1^2}  =  \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} \)

Der Abstand ist \(d = 2 \sqrt{6} \)

Der gesuchte Ortsvektor ist also \(\overrightarrow{OP'}\ = \overrightarrow{OP}\ - 2 \cdot \vec{n_0} \cdot d =  \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\-1\\0 \end{pmatrix}\) und das sind die Koordinaten des gespiegelten Punktes.

Answer 2

Hallo

sobald due eine Ebenengleichung hast, kannst du den Punkt einsetzen und feststellen erfüllt er die Gl. dann liegt er in der Ebene, sonst nicht.

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort nur wie bekomme ich die Ebenengleichung hin ?

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Du hast immer noch nicht die komplette Gleichung eingestellt.

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Danke für die Antwort nur wie bekomme ich die Ebenengleichung hin ?

Du hast oben in Deiner Frage geschrieben:

... mit der Gleichung 2x1 x2 x3 -1

das ist keine Gleichung. Und es ist auch nicht das was dort steht wo Du es gelesen hast. Schau bitte dort noch nochmal nach. Steht dort vielleicht$$2x_1+x_2+x_3 = -1$$??

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Ja, das ist die Gleichung 2x1 + x2 + x3 =-1

Ich habe erst jetzt bemerkt dass ich die Vorzeichen vergessen habe . Tut mir leid.

Die Frage ist wie ich die vorgegebenen Punkte in die Gleichung einsetze , so dass ich es herausfinden kann ?

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Die Koordinaten des Punktes setzt du in die Ebenengleichung ein:

\(2\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 4= 11 \neq -1\)

Also liegt der Punkt nicht in der Ebene.

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Vielen vielen dank für die Hilfe

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Sehr gerne, wir freuen uns immer, wenn wir helfen konnten.