Normale s zu g die in der Ebene E liegt und durch P geht

Question

Gegeben: Gerade g:(6/-2/8)(-2/4/6); Ebene E:(8/0/0)(0/6/0)(0/0/4); P (2/0/zp) in der Ebene E

Gesucht: Normale s zu g, die in E liegt und durch P geht.

 

Es ist darstellende Geometrie und ich komme nicht mehr weiter.  Auf den genauen Punkt P bin ich gekommen. Könnte mir jemand weiterhelfen?

Comments

Darstellende Geometrie? Sollst du konstruktiv das im 2-Tafelsystem (Grund- und Aufriss) lösen?

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ja ganz genau. Ich kann mir das aber alles nicht richtig vorstellen und deswegen habe ich grosse Mühen damit.

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Also ich weiß ja wie man einen Grund und Aufriss macht. Aber kann man diese Aufgabenstellung damit lösen? Das erscheint mir ja schwieriger als das zu rechnen :)

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rechnen habe ich es noch nicht gelernt, wieso auch immer, aber wir müssen alles zeichnen. Ja also ob man es lösen kann, nach der Meinung des Lehrers ja aber nach meiner Meinung nicht ;)

Ich glaube aber, dass man eine Normalebene N zu g durch P macht und dann diese mit E schneidet ;)

Answer 1

g: g:(6/-2/8) + r * (-2/4/6)

E: (8/0/0)(0/6/0)(0/0/4)

Ich stelle hier mal die Parametergleichung auf

E: [8, 0, 0] + r * [-8, 6, 0] + s * [-8, 0, 4]

Und damit erstelle ich die Koordinatenform

n = [-8, 6, 0] x [-8, 0, 4] = [24, 32, 48] = 8 * [3, 4, 6]

E: 3x + 4y + 6z = [8, 0, 0] * [3, 4, 6] = 24

Damit kann ich jetzt Punkt P bestimmen

3*2 + 4*0 + 6z = 24
z = 3

P = [2, 0, 3]

Ich hoffe das hast Du auch.

Wir suchen nun eine Senkrechte zu g die in der Ebene liegt und damit auch senkrecht zum Normalenvektor der Ebene liegt.

v = [-2, 4, 6] x [3, 4, 6] = [0, 30, -20] = 10 * [0, 3, -2]

Nun kann ich die Geradengleichung aufstellen:

s: x = [2, 0, 3] + r * [0, 3, -2]

 

Comments

Wenn bei der Geraden g 2 Punkte gegeben sind, würde man den Richtungsvektor bestimmen

(6/-2/8) - (-2/4/6) = [8, -6, 2] = 2 * [4, -3, 1]

Damit verändert sich der Rest meiner Rechnung zu:

v = [4, -3, 1] x [3, 4, 6] = [-22, -21, 25]

s: x = [2, 0, 3] + r * [-22, -21, 25]

Answer 2

Ich habe die Aufgabe ein bisschen anders interpretiert als der Mathecoach und weil ich mir soviel Mühe gemacht habe, will ich das jetzt nicht einfach nicht posten, auch wenn seine Interpretation irgendwo plausibler ist. Außerdem ist mein Lösungsweg auch ein anderer, deswegen notiere ich den hier auch nochmal, vor allem, falls das Kreuzprodukt nicht bekannt ist.

Ich gehe davon aus, dass auch bei g zwei Punkte gegeben sind und nicht Stützvektor und Richtungsvektor.

 

Als erstes bestimmt man die Gleichungen für g und E.

Dafür benötigt man jeweils eine Aufpunkt (Stützvektor) und einen bzw. zwei Richtungsvektoren, die sich als Differenzen zu den anderen gegebenen Punkten ergeben.

 

g: x = (6|-2|8) + k*(8|-6|2)

Für E wähle ich stattdessen die Koordinatenform:

x/a + y/b + z/c = 1

setzt man nun die drei Punkte ein, erhält man ein sehr einfaches Gleichungssystem für a, b und c:

8/a = 1
6/b = 1
4/c = 1

a = 8, b = 6, c = 4

also E: x/8 + y/6 + z/4 = 1 |*24

E: 3x + 4y + 6z = 24

Nun findet man leicht die z-Koordinate von P, indem man in E einsetzt:

3*2 + 4*0 + 6*z = 24

6z = 18  |:6

z = 3

Also ist P(2|0|3).

Jetzt suchen wir eine Gerade, die senkrecht auf g steht, in E liegt und durch P geht.

Diese Gerade f besteht aus einem Richtungsvektor und einem Stützvektor. Der Stützvektor ist leicht, man nimmt natürlich P(2|0|3).

Für den Richtungsvektor r_f muss gelten:

r_f * r_g = 0     -> Steht senkrecht auf g
r_f * n_E = 0    -> Steht senkrecht auf den Normalenvektor von E (liegt also in E)

(u|v|w)*(8|-6|2) = 0

⇒ 8u - 6v + 2w = 0

(u|v|w)*(3|4|6) = 0

⇒ 3u + 4v + 6w = 0

Teilt man die erste Gleichung noch durch 2, erhalten wir also das Gleichungssystem:

4u -  3v  + w = 0
3u + 4v + 6w = 0

Beachtet man außerdem noch, dass die Länge des Vektors egal ist, kann man eine der Variablen frei wählen. Zum Beispiel u = -λ, dann können wir diesen Parameter am Ende so anpassen, dass "schöne" Zahlen herauskommen.

 -3v + w = 4λ
4v + 6w = 3λ

Wir nehmen die obere Gleichung mit -6 mal:

18v - 6w = -24λ
4v + 6w = 3λ

wir addieren beide Gleichungen:

22v = -21λ

v = -21λ/22

Nimmt man stattdessen die erste Gleichung mit 4 und die zweite mit 3 mal, erhält man:

-12v + 4w = 16λ
12v + 18w = 9λ

addiert man beide, erhält man

22w = 25λ

w = 25λ/22

Für möglichst einfache Werte wählen wir deshalb λ = 22 und erhalten als Richtungsvektor:

r_f = (-22| -21| 25)

f: x = (2|0|3) + m*(-22| -21| 25)

Comments

Ich muss dir recht geben. Ich glaube auch das bei g eher auch 2 Punkte gemeint sind. Auch wenn die Lösung dann nicht so schön aussieht.

Weißt du, warum so viele Lehrer das nicht über das Kreuzprodukt machen? Auch in total vielen Büchern findet man öfter nur Lösungswege über Gleichungssysteme.

Seit ich irgendwie mehr mit dem Kreuzprodukt gemacht habe, habe ich irgendwie sehr gefallen daran gefunden weil man damit sehr viele Sachen recht praktisch lösen kann.