Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion im Punkt (2|f(2)) und …

Question

Aufgabe:

a)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen der natürlichen Exponentialfunktion im Punkt (2|f(2)) und berechnen sie die Nullstellen von t.

b)

Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion schließt mit der Tangente im Punkt P (2|f(2)) znd den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen sie den Inhalt dieser Fläche.

Problem/Ansatz:

Ich hab das Thema gar nicht verstanden, weil ich die letzten Stunden nicht da war, und mein Mathekurs damit neu angefangen hat, und ich schreibe Freitag dazu eine Klausur, würde mir jemand bitte helfen.

Answer 1

Die natürliche Exponentialfunktion ist

f(x) = e^x

Die Ableitung ist ebenso

f'(x) = e^x

Die allgemeine Tangentengleichung für die Tangente an der Stelle a ist

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)

Hier setzen wir die Stelle a = 2 ein und erhalten

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2)
t(x) = e^2·(x - 2) + e^2 = e^2·x - e^2 = e^2·(x - 1)

Skizze

~plot~ e^x;e^2*(x-1);[[-1|6|-1|12]] ~plot~

Wenn das soweit klar ist, kann man sich an Teil b) machen.

Comments

Dankeschön,

Aber ich wollte nochmal fragen, wieso die Tangentengleichung so ist?

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Man braucht nur in die Punkt-Steigungs-Form der linearen Funktion

g(x) = m * (x - Px) + Py

die Steigung

m = f'(a)

die x-Koordinate des Tangentenberührpunktes

Px = a

und die y-Koordinate des Tengentenberührpunktes

Py = f(a)

einsetzen.

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Ach ja stimmt, die Steigung war ja f'(x), das hab ich voll vergessen. Danke nochmal

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Die Fläche berechnet man dann mittels Integralrechnung berechnen:

A = ∫ (0 bis 1) (EXP(x)) dx + ∫ (1 bis 2) (EXP(x) - EXP(2)·(x - 1)) dx = e^2/2 - 1 = 2.695

oder auch Subtraktiv

A = ∫ (0 bis 2) (EXP(x)) dx - 1/2·1·e^2 = e^2/2 - 1 = 2.695

Answer 2

Ich denke bei b) ist die grün markierte Fläche gesucht.

Comments

Aber wie finde ich die Fläche heraus?

Ich hab schon die Fläche von der Funktion e^x, die ist ca. 6,39, aber die von der anderen Funktion find ich nicht heraus.

Wissen sie vielleicht wie ich das lösen kann?

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Ich würde die Exponentialfunktion von 0 bis 2 integrieren und dann den Flächeninhalt des Dreiecks subtrahieren.

\( \int \limits_{0}^{2} e^{x} d x - \frac{e^2}{2}=e^2-1-\frac{e^2}{2}- = 2,69 ... \)

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Ja, das hab ich auch versucht, aber da kommt dann als Gesamtfläche -1 raus.

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Dann ist ein Rechenfehler geschehen.