Differentialgleichung Fallschirmsprung mit Luftreibung

Question

Hallöchen, folgende Aufgabe:

Auf einen Fallschirmspringer der Gesamtmasse m (in kg), der sofort nach dem Absprung seinen Fallschirm öffnet, wirken Kräfte: einerseits die Gewichtskraft G = m g mit g = 9,81 (in m/s²) nach unten, andererseits der Luftwiderstand F = c * v(t), der der Bewegung entgegengesetzt gerichtet und annähernd proportional zur momentanen Fallgeschwindigkeit v(t) ist.

Mithilfe der Grundgleichung der Mechanik ergibt sich: m*a(t) = m*g - c*v(t).

Hinweis: a(t) = v'(t)

a) Zeigen Sie, dass die momentane Geschwindigkeit v die Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums erfüllt, und geben Sie eine Lösung für v an, wenn v (0) = 0 ist.

b) Geben Sie die maximale Geschwindigkeit Vmax an, Es sei Vmax = 5 (in m/s) und m = 95 (in kg). Bestimmen Sie hiermit die Konstante c und zeichnen Sie den Graphen der Funktion v. Wann hat der Fallschirmspringer die halbe Endgeschwindigkeit erreicht?

Problem/Ansatz:

Ich komme wirklich überhaupt nicht weiter! Für a hab ich bisher folgendes:

m*v'(t) = m*g - c*v(t)      | :m

v'(t) = (m*g)/m - ((c*v(t)) / m )

v'(t) = g - c/m * v(t)

Damit müsste ja der erste Teil von a erfüllt sein?

Da v(0) = (0)

v(t) = S-ce^(-kt)  , wobei S = c

bzw.

v(t) = S*(1-e^(-kt))

bei b komme ich gar nicht weiter...

Answer 1

Aloha :)

Zur Lösung der Differentialgleichung:$$m\dot v(t)=mg-cv(t)$$suchen wir zuerst eine spezielle Lösung der Gleichung, indem wir $v(t)=v_s=\text{const}$ ansetzen:$$(mv_s)'=0=mg-cv_s\implies cv_s=mg\implies v_s=\frac{mg}{c}$$Jetzt brauchen wir noch die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung:

$$\left.m\dot v_0(t)=-cv_0(t)\quad\right|\colon (mv_0(t))$$$$\left.\frac{\dot v_0(t)}{v_0(t)}=-\frac{c}{m}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.\ln\left|v_0(t)\right|=-\frac{c}{m}\,t+\alpha_1\quad\right|\alpha_1=\text{const}\;\big|\;e^{\cdots}$$$$v_0(t)=e^{-\frac{c}{m}t}\cdot e^{\alpha_1}$$Wegen $\alpha_1=\text{const}$ ist auch $\alpha\coloneqq e^{\alpha_1}=\text{const}$, sodass wir die homogene Lösung angeben können:$$v_0(t)=\alpha\cdot e^{-\frac{c}{m}t}$$Zusammen mit der speziellen Lösung von oben haben wir die Gesamtlösung:$$v(t)=v_0(t)+v_s=\frac{mg}{c}+\alpha\cdot e^{-\frac{c}{m}t}$$Die Konstante $\alpha$ folgt aus der Anfangsbedingung $v(0)=0$:$$0\stackrel!=v(0)=\frac{mg}{c}+\alpha\quad\implies\alpha=-\frac{mg}{c}$$Schließlich lautet damit die Lösung des Problems:$$v(t)=\frac{mg}{c}\left(1-e^{-\frac{c}{m}t}\right)$$

Comments

Vielen Dank erstmal!

Aber wieso lässt man in diesem Schritt:

m*v'(t) = - c*v(t)

m*g aus der Gleichung raus?

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In der Differentialgleichung$$m\dot v(t)=mg-cv(t)$$enthält der Term $mg$ nicht die gesuchte Funktion $v(t)$ oder eine ihrer Ableitungen. Dieser Term ist eine "Störung". Lässt man die Störung weg, bekommt man die sogenannte "homogene" Differentialgleichung:$$m\dot v_0(t)=-cv_0(t)$$In ihr tauchen nur Terme mit der gesuchten Funktion $v_0(t)$ und deren Ableitungen auf. Zur Lösung der gestörten Differentialgleichung von oben, brauchst du die allgemeine Lösung $v_0(t)$ der homogenen Differentialgleichung und eine einzige spezielle Lösung $v_s(t)$ der gestörten Differentialgleichung:$$v(t)=\underbrace{v_0(t)}_{=\text{allgemeine homogene Lösung}}+\underbrace{v_s(t)}_{=\text{spezielle Lösung}}$$

Deswegen haben wir oben zuerst eine spezielle Lösung $v_s=\frac{mg}{c}$ gesucht und dann die Lösung der homogenen bzw. ungestörten Differentialgleichung bestimmt. Schließlich haben wir beide Lösungen addiert.

Answer 2

Schau mal, ob die momentane Geschwindigkeitsfunktion so passt.

$v(t) = \frac{g \cdot m}{c} \cdot \left( 1 - e^{-\frac{c}{m} \cdot t} \right)$

Comments

Geben Sie die maximale Geschwindigkeit Vmax an, Es sei Vmax = 5 (in m/s)

Das ist doch dann eine Simple Aufgabe

Vmax = 5 m/s

Answer 3

Hallo,

Du kannst die DGL via Trennung der Variablen lösen ,ohne Störung :)

Dividiere die Gleichung durch m*g -c v(t)

usw.