Löse folgende Gleichung - Logarithmus

Question

Aufgabe:

Löse folgende Gleichung:

x^(log₃x) = x^(log₅2x)

Comments

x=1 ist auch eine Lösung.

Answer 1

Exponentenvergleich:

log_3(x) = log_5(2x)

Verwende:

log_5(2x) = log_5(2)+log_5(x)

log_5(x) = log_3(x)/log_3(5)

Fasse die log_3(x) zusammen, mit 3^x kannst du den log dann loswerden.

Answer 2

Zwei Potenzen mit der gleichen Basis sind genau dann gleich, wenn die Exponenten gleich sind

log3(x) = log5(2x)

LN(x)/LN(3) = LN(2·x)/LN(5)

LN(x)/LN(3) = (LN(2) + LN(x))/LN(5)

LN(x)/LN(3) = LN(2)/LN(5) + LN(x)/LN(5)

LN(x)/LN(3) - LN(x)/LN(5) = LN(2)/LN(5)

LN(x)·(1/LN(3) - 1/LN(5)) = LN(2)/LN(5)

LN(x)·((LN(5) - LN(3))/(LN(3)·LN(5))) = LN(2)/LN(5)

LN(x) = LN(2)·(LN(3)·LN(5))/(LN(5)·(LN(5) - LN(3)))

LN(x) = LN(2)·LN(3)/(LN(5) - LN(3))

LN(x) = LN(2)·LN(3)/LN(5 / 3)

x = EXP(LN(2)·LN(3)/LN(5 / 3))

x = 2^(LN(3)/LN(5 / 3)) ≈ 4.440

Comments

Zwei Potenzen mit der gleichen Basis sind genau dann gleich, wenn die Exponenten gleich sind

Außer wenn die Exponenten nicht gleich sind.

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Ich ergänze das mal um das offensichtliche:

Zwei Potenzen mit der Basis 1 oder 0 sollten auch immer gleich sein.

Achtung mit der Basis 0 Dort darf der Exponent nicht auch 0 sein und der Logarithmus müsste auch erstmal definiert sein.

Also kommt hier nur als Basis noch x = 1 in Betracht.