Monotonie bei Zahlenfolgen

Question

es geht um folgende Zahlenfolge:
 n/n+1

WIe genau kann ich nun die Monotonie begründen?
Ich habe bereits so angefangen:

n+1/n+2 - n/n+1

Doch wie kann ich diese noch weiter berechnen?

Ich habe es mal ausprobiert indem ich die Nenner jeweils multipliziere

Am ende habe ich:
4n + 2 / (n+1)(n+2) Doch wie muss ich nun weiter machen? Mich speziell stört der Bruch, da ich so noch nicht gerechnet hatte.

Ich hoffe man kann mir helfen :)

Answer 1

$$\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{n+1}{n+1}-\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+2}{n+2}$$$$=\frac{(n+1)^2-n\cdot(n+2)}{(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{1}{(n+1)\cdot(n+2)}>0.$$

Comments

Aber wie kann ich hiermit die Monotonie wiedergeben? was sagt mir das > 0 ?
Ich habe mal deine 1. Gleichung in der 2. Zeile mit den Nenner sachen gekürzt

Am Ende habe ich dann eine Gleichung ohne Bruch:
n² - n

Kann ich damit weiter machen?

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Damit ist gezeigt, dass die Folge monoton steigend ist. Es ist$$a_n=\frac{n}{n+1}\text{ und }a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}.$$Wie oben gezeigt, gilt \(a_{n+1}-a_n>0\), woraus folgt, dass \(a_{n+1}>a_n\) ist.