Darstellungsformen komplexer Zahl: z = i

Question

Aufgabe:

Man gebe für die folgende komplexe Zahl jeweils die algebraische, die trigonometrische und die exponentielle Darstellung sowie den Betrag an: z = i

Problem/Ansatz:

Meine Rechnung ist die Folgende:

Re = 0

Im = 1

|z| = 1

φ = arccos(\( \frac{0}{1} \) ) = arccos(0) = \( \frac{3}{2} \)π 

algebraisch: z = i

trigonometrisch: cos(\( \frac{3}{2} \)π) + isin(\( \frac{3}{2} \)π)

exponentiell: e^{\( \frac{3}{2} \)πi}

Das Ergebnis sollte aber das hier sein:

cos(\( \frac{π}{2} \)) + isin(\( \frac{2π}{2} \)π)

e^{\( \frac{π}{2} \)i}

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt? Ich scheine φ falsch berechnet zu haben oder? Aber warum?

Liebe Grüße

Sykos

Answer 1

Aloha :)

Das Argument ist \(\varphi=\frac\pi2\):$$i=\underbrace{0+i\cdot1}_{=\text{algebraisch}}=\overbrace{\underbrace{\cos\frac\pi2}_{=0}+i\cdot\underbrace{\sin\frac\pi2}_{=1}}^{=\text{trigonometrisch}}=\underbrace{e^{i\,\frac\pi2}}_{=\text{exponentiell}}=\overbrace{\binom{0}{1}_{\mathbb C}}^{=\text{vektoriell}}$$

Comments

Aloha :)

Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe eine Formelsammlung um die Werte für sin, cos und tan Werte abzulesen (Taschenrechner verboten). Dort gibt es zwei Werte für arccos(0), nämlich 90° \( \frac{π}{2} \) und 270° \( \frac{3}{2} \)π.

Woher weiß ich denn welchen ich benutzen muss?

---

Der Cosinus muss \(0\) sein und der Sinus muss \(1\) sein.

Daher fällt der Winkel \(\varphi=\frac32\pi\) raus.

Answer 2

φ = arccos(\( \frac{0}{1} \) ) = arccos(0) = \( \frac{3}{2} \)π 

Dass \(\mathrm{i}\) nicht das Argument \( \frac{3}{2}\pi \) haben kann, verdeutlicht man sich an der gaußschen Zahlenebene.