Berechne die Ableitungen von f(x)= 1/(x^2+1)+log(1/(x^2+1))+arctan(1/(x^2+1)),

Question

a) f(x)= 1/(x^2+1)+log(1/(x^2+1))+arctan(1/(x^2+1)), x element der reellen zahlen

b) f(x)= x log x - x, x>0

c) f(x)= a^x mit festem a>0, x element der reellen zahlen.

 

Bitte mit Erklärung.

Comments

Ist mit dem log der natürliche Logarithmus ln gemeint?

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Ja. Soweit nichts anderes angegeben ist bezeichnet auch der log den natürlichen Logarithmus. So auch bei Wolfram-Alpha etc.

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Wolfram-Alpha ist ein amerikanisches System.

Üblicher hier ist mE, dass log irgendwas sein kann, aber häufig für den 10er-Log verwendet wird.

ln und lg sind eindeutig definiert. LOG ist auf Taschenrechnern der 10er-Logarithmus.

Answer 1

a) f(x)= 1/(x^2+1) + log(1/(x^2+1)) + arctan(1/(x^2+1))

g(x) = 1/(x^2+1) = (x^2 + 1)^{-1}
g'(x) = -(x^2 + 1)^{-2} * 2x = -2x / (x^2 + 1)^2

h(x) = ln(x)
h'(x) = 1/x

h(g(x)) = ln(1/(x^2+1))
h'(g(x)) * g'(x) = 1/(1/(x^2+1)) * -2x / (x^2 + 1)^2 = (x^2+1) * -2x / (x^2 + 1)^2 = -2x/(x^2 + 1)

i(x) = arctan(x)
i'(x) = 1/(x^2 + 1)

i'(g(x)) * g'(x) = 1/((1/(x^2+1))^2+1) * -2x / (x^2 + 1)^2 = (x^2+1)^2/(x^4+2 x^2+2) * -2x / (x^2 + 1)^2
= -(2 x)/(x^4+2 x^2+2)

f'(x) = -2x / (x^2 + 1)^2 - 2x/(x^2 + 1) - (2 x)/(x^4+2 x^2+2)

 

b) f(x)= x * ln(x) - x

f'(x) = 1 * ln(x) + x * 1/x - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x)

 

c) f(x) = a^x = e^ln(a^x) = e^{x*ln(a)}

f'(x) = e^{x*ln(a)} * ln(a) = a^x * ln(a)

Comments

hab 2 mal den teil mit arctan nachgerechnet bei mir kommt dann -4x/(x^4+2x^2+2) raus.. kann aber sein dass ich mich 2 mal verrechnet habe :P