Mathematik - Geraden & Ebenen

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte erklären, wie ich auf die Lösungen a = -2 & b = 6 kommen soll (laut den Lösungen)?

Gegeben ist die Geradenschar ga:x⃗ =(1/1/0) + t * (1/2/a) und die Ebenenschar Eb: 2x1+4x2+5x3=b.

c) Wie müssen a & b gewählt werden, damit die Gerade ga in der Ebene Eb liegt?

Vielen Dank!

Comments

Das Bild zur Aufgabe:

Der Punkt \(A(1|\,1|\,0)\) muss in \(E_b\) liegen \(\implies b=6\).

Und \(g_a\to(1|\,2|\,a)\) muss senkrecht auf \(\vec n=(2|\,4|\,5)\) stehen \(\implies a=-2\)

Answer 1

Hallo,

wenn die Gerade in der Ebene liegt, ist sie nicht echt parallel zu dieser. Trotzdem sollten das Skalarprodukt des Richtungsvektors von der Geraden und des Normalenvektors der Ebene 0 ergeben.

\( g_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ a\end{array}\right) \)

\( E_{b}: \;2 x_{1}+4 x_{2}+5 x_{3}=b \)

\( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ a\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)=2+8+5 a =10+5 a \)

\( 10+5 a=0 \)
\( 5 a=-10 \)
\( a=-2 \)

Setze die Koordinaten des Aufpunktes der Geraden in die Ebenengleichung ein.

\(2\cdot1+4\cdot1+5\cdot 0=b\\ 6=b\)

Gruß, Silvia

Answer 2

Setze die Gerade : \( \vec{x} \) =(1/1/0) + t * (1/2/a) in die Ebene \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \)·\( \begin{pmatrix} 2\\4\\5 \end{pmatrix} \) =b ein. Du erhältst 6+(10a+5)·t=b. Diese Gleichung muss für jedes t erfüllt sein. Also muss 10+5a=0 sein. Das heißt  a=-2. Dann ist b=6.