Mathematik - Ebenen- & Geradengleichung

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei der Teilaufgabe 3 helfen?

3) Verändere die Ebenengleichung geringfügig um, so dass bei der unten dargestellten Aufgabe jeweils auch die beiden anderen Fälle an Lagebeziehungen auftauchen.

g: x = (4/6/2) + t * (1/2/3)

E: 3x1 - x3 = 10

Lagebeziehung in diesem Fall - unendlich Lösungen

Ich wüsste jedoch nicht, wie ich die Ebenengleichung nun verändern könnte, dass ich auch die anderen zwei Lösungen (eine & keine Lösung) bekommen könnte. Gibt es dort einen Trick oder eine Variante, an der ich mich orientieren könnte?

Vielen Dank.

Answer 1

Dass du unendlich viele Lösungen hast heisst , dass die Gerade in der Ebene liegt, dann bekommst du keine Lösung, wenn du die Ebene etwas verschiebst, also die =10 in =10,1 oder 11 änderst, damit du eine Lösung kriegst musst du die Normalensteigung etwas ändern also statt 3x1-x3   entweder noch ein x2 einfügen oder die 3 in 2,9 ändern oder die -1 in +1 oder -1,5

Gruß lul

Comments

Hallo,

das ist sehr gut nachvollziehbar.

Gruß ermanus

---

Wenn du die Ebene E wie vorgeschlagen manipulierst, um genau einen Schnittpunkt mit der Geraden g zu bekommen, musst du ausschließen, dass die Gerade g auch in der maniplulierten Ebene liegt.

Answer 2

Lagebeziehung in diesem Fall - unendlich Lösungen

Wenn du die Ebene verschiebst ohne den Normalenvektor zu verändern, dann gibt es keine gemeinsamen Punkte von Ebene und Gerade mehr.

Wenn du die Richtung des Normalenvektor veränderst, dann gibt es genau einen Schnittpunkt von Gerade und Ebene.

Zur Erinnerung, Normalenvektor der Ebene

        \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\)

ist \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\).

Gibt es dort einen Trick

In der Mathematik wird nicht mit Tricks gearbeitet, sondern mit deduktiven Schlussfolgerungen.

Comments

Wenn du die Richtung des Normalenvektor veränderst, dann gibt es genau einen Schnittpunkt von Gerade und Ebene.

Aus was folgt das denn? In dieser Allgemeinheit gilt das meiner Meinung nach nicht.

---

"In der Mathematik wird nicht mit Tricks gearbeitet, sondern mit deduktiven Schlussfolgerungen."

Da bin ich anderer Meinung. Wenn man nur deduktiv schlussfolgert,

wird man sehr bald ein Kreativitätsproblem bekommen.

Für den Beweis einer Aussage muss man natürlich deduktiv

schlussfolgern.

Gruß ermanus

---

@gastaz nur wenn die Gerade in der Ebene lieg schneidet sie nicht, ändert man den Normalenvektor ist er nicht mehr orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden, also schneidet sie,

lul

---

ändert man den Normalenvektor ist er nicht mehr orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden

Es muss genau anders herum sein: "ändert man den Normalenvektor so, dass er nicht mehr orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist..." Es muss also eine qualifizierte Änderung sein, sonst geht das nicht.

---

In dieser Allgemeinheit gilt das meiner Meinung nach nicht.

Da kann ich jetzt wenig zu sagen, weil ich nicht weiß, welche Allgemeinheit du als Basis für deine Aussage herangezogen hast.

---

Nicht jede Richtungsänderung des Normalenvektors der Ebene stellt sicher, dass die neue Ebene mit der alten Geraden genau einen Punkt gemein hat.

---

Ich bezeichne Richtungen als gleich, wenn sie sich durch Vektoren darstellen lassen, die sich nur durch einen Faktor ≠ 0 unterscheiden.

---

Der neue Normalenvektor\( \begin{pmatrix} 0\\3\\-2 \end{pmatrix}\) beispielsweise hat sicher nicht die gleiche Richtung wie der alte.

Answer 3

Du kannst die Ebene parallel verschieben, indem du die 10 rechts vom Gleicheitszeichen veränderst, also z.B. ... =11. Da die Gerade unverändert bleibt, verläuft sie nun parallel zur Ebene.

Und wenn du den Normalenvektor n der Ebene so veränderst, dass das Skalarprodukt aus ihm und dem Richtungsvektor der Geraden u nicht Null ist, gibt es genau eine Lösung. Z.B. n=[3;1;-3].

:-)

Comments

Die Aufgabe lautet:

Verändere die Ebenengleichung geringfügig

Die Geradengleichung soll also nicht verändert werden.

---

Meine Lesekompetenz lässt wohl nach. ;-)

Naja, dann muss halt der Normalenvektor entsprechend geändert werden.

Ich habe meine Antwort entsprechend geändert.

:-)