Monotonie bei Folge mit nter Wurzel?

Question

es geht um folgende Folge:
 

a_n = [n+1]wurzel(8) also n+1 te Wurzel von 8

Ich habe keine Ahnung wie ich vorgehen sollte da die Regel ja wäre:

[(n+1)+1]wurzel(8) - [n+1]wurzel(8)

Answer 1

Wenn man es mit Potenzen (Wurzeln) zu tun hat, sollte man besser über den Quotienten benachbarter Folgeglieder gehen:

Sei also:

$${ a }_{ n }=\sqrt [ n+1 ]{ 8 } ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ n+1 }  }$$

dann gilt:

$$\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } =\frac { { 8 }^{ \frac { 1 }{ n+2 }  } }{ { 8 }^{ \frac { 1 }{ n+1 }  } } ={ 8 }^{ \frac { 1 }{ n+2 } -\frac { 1 }{ n+1 }  }={ 8 }^{ \frac { (n+1)-(n+2) }{ (n+2)(n+1) }  }={ 8 }^{ -\frac { 1 }{ (n+2)(n+1) }  }=\frac { 1 }{ { 8 }^{ \frac { 1 }{ (n+2)(n+1) }  } } <1$$$$\Leftrightarrow { a }_{ n+1 }<{ a }_{ n }$$

Also ist a_n  eine streng monoton fallende Folge.

Comments

Mir fällt auf ich habe dies schon in einem Video gesehen, doch ich habe es nicht richtig verstanden und nun versteh ich es sogar in dem Video :) Auch hier vielen Dank ^^