Hallo :-)
Du scheinst das Prinzip von Eigenwerten bzw. Eigenvektoren nicht verstanden zu haben.
Eigenwerte und Eigenvektoren spielen immer zusammen. Diese werden für Endomorphismen definiert, also lineare Abbildungen von der Form $$ f:\ V\to V. $$
Hier hast du eine Matrix \(A\in \mathbb{R}^{n,n}\) noch dazu gegeben mit einer linearen Abbildung von der Form $$ g: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n, \ v\mapsto A\cdot v. $$
Eigenwerte bzw. Eigenvektoren eines Endomorphismuses (siehe in eurer Definition nach) erfüllen stets diese Eigenschaft: \(f(v)=\lambda\cdot v\) und bei einer Matrix also \(g(v)=A\cdot v=\lambda\cdot v\).
Jetzt suchst du von deinem Endomorphismus
$$ m: \ \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \\\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -2 & 2 &-3 \\ 2 & 1 & -6\\ -1 & 2 & 0 \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ x_3 \\\end{pmatrix} $$
die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Betrachten wir nochmal diese Gleichung: \(A\cdot v=\lambda\cdot v\). Damit kann man durch folgende Äquivalenzumformungen folgende neue Aussage erhalten:
$$\begin{aligned} &A\cdot v=\lambda\cdot v\\\Leftrightarrow &A\cdot v-\lambda\cdot v=0 \\\Leftrightarrow &(A-\lambda \cdot I_n)\cdot v=0\quad \Big(\Leftrightarrow v\in \operatorname{Ker}(A-\lambda\cdot I_n)\Big)\\\stackrel{v\neq 0}{\Leftrightarrow} &(A-\lambda\cdot I_n)\text{ hat nicht vollen Rang}\\\Leftrightarrow &\underbrace{\det(A-\lambda\cdot I_n)}_{\text{char. Polynom}}=0\end{aligned} $$
Anstelle nun das aufwendige LGS \(A\cdot v=\lambda\cdot v\) zu lösen, musst du nur noch alle \(\lambda\in \mathbb{R}\) finden, sodass \(\det(A-\lambda\cdot I_n)=0\) gilt. Und das schreit nach Nullstellen!
Dann musst du nur noch zu jedem Eigenwert \(\lambda\) das LGS \((A-\lambda\cdot I_n)\cdot v=0\) lösen.
