Bestimmen der Funktionsgleichung

Question

Aufgabe:

Funktionsgleichung bestimmen

Problem/Ansatz:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Ursprung einen Sattelpunkt und bei x = 3/2 einen Extrempunkt.

Ferner verläuft er durch P(1/-1).

Answer 1

Hallo,

eine Funktion vierten Grades lässt sich so darstellen:

\( f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \)
\( f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2}+2 c x+d \)
\( f^{\prime \prime}(x)=12 a x^{2}+6 b x+2 c \)

Aus dem Sattelpunkt im Ursprung ergibt sich:

\( f(0)=0 \Rightarrow c=0 \)
\( f^{\prime}(0)=0 \Rightarrow d=0 \)
\( f^{\prime \prime}(x)=0 \Rightarrow c=0 \)

Damit bleibt noch:

\( f(x)=a x^{4}+b x^{3} \)
\( f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+3 b x^{2} \)

Jetzt noch die letzten beiden Informationen verarbeiten:

Extremstelle bei x = 1,5

\( f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)=0 \Rightarrow \frac{27}{2} a+\frac{27}{4}b=0 \)

Punkt (1 | -1)

\( f(1)=-1 \Rightarrow a+ b=-1 \)

Jetzt brauchst du nur noch dieses Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen.

Gruß, Silvia

Answer 2

ganzrationale Funktion 4. Grades:

\( y = a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e\)

durch den Urprung:

e = 0

verläuft durch durch P(1/-1):

f(1) = a+b+c+d = -1

im Ursprung einen Sattelpunkt:

Nullstelle der ersten und zweiten Ableitung bei x = 0

bei x = 3/2 einen Extrempunkt:

Nullstelle der ersten Ableitung bei x = 3/2

Answer 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Ursprung einen Sattelpunkt und bei x = \( \frac{3}{2} \) einen Extrempunkt. Ferner verläuft er durch P(1|-1).

Im Ursprung einen Sattelpunkt: dreifache Nullstelle

f(x)=a*x^3*(x-N)=a*(x^4-N*x^3)

P(1|-1)

f(1)=a*(1-N)

1.) a*(1-N)=-1   → a=\( \frac{1}{N-1} \)

f´(x)=a*(4x^3-3*N*x^2)

f´(\( \frac{3}{2} \) )=a*(4*\( \frac{27}{8} \) -3*N*\( \frac{9}{4} \) )=a*(\( \frac{27}{2} \) -\( \frac{27}{4} \) *N)

a*(\( \frac{27}{2} \) -\( \frac{27}{4} \) *N)=0|:a mit a≠0

(\( \frac{27}{2} \) -\( \frac{27}{4} \) *N)=0

N=2

a=1

f(x)=x^4-2x^3