Es geht um eine rekursive Folge

Question

Aufgabe:Es sei a₁=1 u. a_n+1=(2+a_n)/7   a) z.Z. mit VI. , das 1/3<a_n<=1 für alle neN gilt. b) z.Z. das die Folge an monoton fallend ist. Hier darf a) verwendet werden.  z.Z. die Folge an konvergiert und der Grenzwert ist zu berechnen. Hier darf a) und b) verwendet werden.

Problem/Ansatz:

zu a) IA: n=1 Es gilt 1/2<a₁=1<=1, IAnnah. Es gelte 1/2<a_n<=1 für ein neN,

IS. z.Z. 1/2<a_n+1<=1

Es gilt a_n+1=(2+3ab)/<=(2+3)/7=5/7<=1

Außerdem ist a_n+1=(2+3a_n)/7>(2+3/2)/7=(7/2)/7=1/2

1/2<a_n+1<=1 was zu zeigen war. Was mir hier durch den Kopf geht, das ist die Folgenforschrift bei der a₁=1 ist. Dann kann ich z.B. mit den 3an auch nichts anfangen. Bei vielen Videos zu rekursiven Folgen angesehen habe, ging es immer darum die eigentliche Folgenvorschrift herauszufinden und darauf aufbauend den Induktionsbeweis machen und auch z.B. den Grenzwert zu berechnen. Ich habe zwar für b und c Lösungen. Aber ich kann eben nicht den Anfang richtig nachvollzuziehen aus dem bereits beschriebenen Grund.

Answer 1

a) z.Z. mit VI. , das 1/3<a_n ≤1 für alle n∈ℕ gilt.

Für n=1 ist es erfüllt.

Gilt es für ein n, dann hast du  1/3<a_n≤1    | +2

==>      7/3  < 2+a_n ≤ 3     | :7

==>       1/3   < (2+a_n) / 7   ≤ 3/7

==>     1/3  <  a_n+1   ≤ 3/7 also auch ≤1.

             q.e.d.

Comments

Es ist ja durch an+1 für 1 erfüllt, aber nicht für a1, wenn ich das richtig verstehe.

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Es ist doch a₁=1. Und 1/3<a_n≤1 bedeutet doch

                                    1/3<1≤1

und das stimmt doch.