Berechnen Sie den rechtsseitigen Grenzwert von f(x):=x^x für x gegen 0. …

Question

Wir definieren f : R_>0 → R durch f(x) := x^x. Berechnen Sie lim_x→0 f(x), f ' (x) und lim_x→0 f ' (x)

Berechnen Sie lim (x pfeil nach unten gegen 0)  f(x), f'(x) und lim (x pfeil nach unten gegen 0) f'(x).

$$ \lim _{ x\searrow 0 }{ f(x) } ,\quad \quad \lim _{ x\searrow 0 }{ f\quad '(x) } ,\\ moegl.weise\quad auch\quad \quad \lim _{ x\searrow 0 }{ f\quad ''(x) } $$

Wenn da einseitig (rechtsseitig) gemeint ist, entspricht das oft "x → 0+"

Answer 1

x^x = e^ln(x^x) = e^{x*ln(x)}

Jetzt untersuche ich erstmal den Grenzwert von x*ln(x) für x gegen 0

x * ln(x) = ln(x) / (1/x)

Hier geht der Zähler gegen -∞ und der Nenner gegen ∞. Daher gilt nach der Regel von L'Hopital

lim x→0 ln(x) / (1/x) = lim x→0 (1/x) / (-1/x^2) = -x = 0

Damit ist

lim x→0 e^{x*ln(x)} = e^0 = 1

Jetzt ist es ein leichtes die Ableitungen von x^x zu untersuchen.

f(x) = x^x

f'(x) = x^x * (ln(x) + 1)

f''(x) = x^x * (ln(x)^2 + 2*ln(x) + 1 + 1/x)

Die erste Ableitung geht also gegen -∞ und die 2. Ableitung geht gegen +∞

PS: Erläuterung zum Ableiten von x^x findest du hier: https://www.mathelounge.de/9085/wie-leite-ich-die-exponentialfunktionen-x-x-bzw-a-x-ab