Bestimmen Sie den rechtsseitigen Grenzwert von x / (1+x)

Question

\( f(x)=\frac{x}{1+x} \)

Bestimmen Sie den rechtsseitigen Grenzwert \( \lim \limits_{x \downarrow-1} f(x) \)

Mein Rechenweg:

$$\lim\limits_{x\to-1}\frac{x}{1+x}=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x(1)}{x(1+\frac{1}{x})}=\lim\limits_{x\to-1}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}=∞$$

In der Lösung steht aber $$-∞$$

Answer 1

Aloha :)

Bei deiner Lösung wird nicht ganz klar, dass du den Grenzwert von oben her gegen \((-1)\) bilden sollst.

$$\phantom{=}\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{x}{1+x}=\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{1+x-1}{1+x}=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(\frac{1+x}{1+x}-\frac{1}{1+x}\right)=\lim\limits_{x\searrow-1}\left(1-\frac{1}{1+x}\right)$$$$=\lim\limits_{h\searrow0}\left(1-\frac{1}{1+(-1+h)}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left(1-\frac{1}{h}\right)=-\infty$$

Bei der Grenzwertbildung haben wir \(x\) durch \((-1+h)\) ersetzt und \(h\to0\) gehen lassen, damit erreichen wir formal, dass der Grenzwert von rechts her gegen \((-1)\) gebildet wird.

~plot~ x/(1+x) ~plot~

Comments

Danke. Habe es verstanden :D

Answer 2

h-Methode:

(-1+h)/(1+(-1+h)) = (-1+h)/h = -1/h + h/h = -1/h +1 = -oo für h ->0