Stimmen die Ableitungen?

Question

Aufgabe: Leitet folgende Funktionen ab

a) \(f(x) = \frac{3a}{1+x^2}\)

b) \(f(x) = \sqrt{ax^2- 3} \)

c) \(f(a) = \sqrt{ax^2- 3} \)

d) \(g(x) = \sqrt{t^2x + 2t} \)

Problem/Ansatz:

a) \(f'(x) = \frac{6a}{(1+x)^3} \)

b) \(f'(x) = \frac{2ax}{2\sqrt{ax^2- 3}} \)

c) \(f'(a) = \frac{x^2}{ax^2- 3} \)

d) \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{t^2x + 2t}} \)

Answer 1

Aloha :)

Leider hat sich in deinen Rechnungen ein Fehlerteufel versteckt:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{3a}{1+x^2}\right)=3a\cdot\frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1}=3a\cdot\underbrace{(-1)(1+x^2)^{-2}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x}_{=\text{innere Abl.}}=-\frac{6ax}{(1+x^2)^2}$$

(b) ist richtig, ich würde aber noch die \(2\) aus Zähler und Nenner kürzen.

$$\frac{d}{da}\sqrt{ax^2-3}=\frac{d}{da}\left(ax^2-3\right)^{\frac12}=\underbrace{\frac12(ax^2-3)^{-\frac12}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{x^2}_{=\text{innere Abl.}}=\frac{x^2}{2\sqrt{ax^2-3}}$$

$$\frac{d}{dx}\sqrt{t^2x+2t}=\frac{d}{dx}\left(t^2x+2t\right)^{\frac12}=\underbrace{\frac12(t^2x+2t)^{-\frac12}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{t^2}_{=\text{innere Abl.}}=\frac{t^2}{2\sqrt{t^2x+2t}}$$

Comments

Alles klar, vielen Dank.