Ableitung von funktion gesucht (Mit n!)

Question

\( \frac{d}{d x}(-1)^{n+1} \frac{n !}{(1+x)^{n+1}}= \)

Wie kann ich das ableiten?

Comments

Stimmt die Aufgabe ?

Oder soll etwa (ln (1+x))⁽ⁿ⁾ =  (-1)ⁿ⁺¹ * (n-1)! / (1+x)ⁿ durch Induktion bewiesen werden ?

Answer 1

Aloha :)

Lass dich durch \(n!\) incht irritieren, das ist bei der Ableitung nach \(x\) nur eine Konstante:

$$\phantom{=}\left((-1)^{n+1}\frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\right)'=\underbrace{(-1)^{n+1}n!}_{=\text{const}}\cdot\left((1+x)^{-(n+1)}\right)'$$$$=\underbrace{(-1)^{n+1}n!}_{=\text{const}}\cdot(-(n+1))\cdot(1+x)^{-(n+1)-1}=(-1)^{n+1}n!\cdot(-1)\cdot(n+1)\cdot(1+x)^{-n-2}$$$$=\underbrace{(-1)^{n+1}\cdot(-1)}_{=(-1)^{n+2}}\cdot \underbrace{n!\cdot(n+1)}_{=(n+1)!}\cdot(1+x)^{-(n+2)}=(-1)^{n+2}\cdot(n+1)!\cdot\frac{1}{(x+1)^{n+2}}$$

Comments

Wie sähe die Ableitung nach n aus?