Aloha :)
Wenn du dem Hinweis folgen und Lagrange-Multiplikatoren verwenden möchtest, kannst du die Situation wie folgt darstellen. Gesucht ist der minimale Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\). Um Wurzelzeichen zu sparen, minimieren wir das Quadrat des Abstandes:$$f(x_1;x_2;y_1;y_2)=\left\|\binom{x_1}{y_1}-\binom{x_2}{y_2}\right\|^2=\left\|\binom{x_1-x_2}{y_1-y_2}\right\|^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$Als konstante Nebenbedingungen haben wir die Parabel und die Gerade:$$g(x_1;y_1)=y_1-x_1^2=0\quad;\quad h(x_2;y_2)=y_2-x_2=-1$$
Nach Lagrange muss nun der Gradient der zu optimierenden Funktion \(f\) eine Linearkombination der Gradienten der beiden Nebenbedingungen \(g\) und \(h\) sein:$$\operatorname{grad}f(x_1;x_2;y_1;y_2)=\lambda_1\operatorname{grad}g(x_1;y_1)+\lambda_2\operatorname{grad}h(x_2;y_2)$$Da wir es hier mit vier Unbekannten zu tun haben, sind die Gradienten 4-dimensional:$$\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y_1}\\[1ex]\frac{\partial f}{\partial y_2}\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial y_1}\\[1ex]\frac{\partial g}{\partial y_2}\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x_1}\\[1ex]\frac{\partial h}{\partial x_2}\\[1ex]\frac{\partial h}{\partial y_1}\\[1ex]\frac{\partial h}{\partial y_2}\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{r}2(x_1-x_2)\\-2(x_1-x_2)\\2(y_1-y_2)\\-2(y_1-y_2)\end{array}\right)=\lambda_1\left(\begin{array}{c}-2x_1\\0\\1\\0\end{array}\right)+\lambda_2\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$$
Um die Langrange-Multiplikatoren los zu werden, dividieren wir die Koordinatengleichung für die erste Komponene durch diejenige der dritten Komponente und die Koordinatengleichung für die zweite Komponente durch diejenige der vierten Komponente:$$\frac{2(x_1-x_2)}{2(y_1-y_2)}=\frac{-2x_1\cdot\lambda_1}{1\cdot\lambda_1}\quad;\quad\frac{-2(x_1-x_2)}{-2(y_1-y_2)}=\frac{-1\cdot\lambda_2}{1\cdot\lambda_2}\quad\implies$$$$\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-2x_1\quad;\quad\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=-1$$Da beide linken Seiten gleich sind, müssen auch beide rechte Seiten gleich sein, sodass \(-2x_1=-1\) bzw. \(x_1=\frac12\) folgt. Wegen der Nebenbedingung \(g\) ist dann \(y_1=\frac14\). Dies setzen wir in die rechte Gleichung ein:
$$-1=\frac{x_1-x_2}{y_1-y_2}=\frac{\frac12-x_2}{\frac14-y_2}\implies\frac12-x_2=-\frac14+y_2\implies y_2=\frac34-x_2$$Das setzen wir in die Nebenbedingung \(h\) ein:$$-1\stackrel!=y_2-x_2=\left(\frac34-x_2\right)-x_2=\frac34-2x_2\implies-\frac74=-2x_2\implies x_2=\frac78$$Schließlich liefert die Nebenbedingung \(h\) noch \(y_2=x_2-1=-\frac18\).
Zusammenfassend haben wir \(x_1=\frac12\), \(y_1=\frac14\), \(x_2=\frac78\) und \(y_2=-\frac18\) und können den minimalen Abstand bestimmen:
$$d_{\text{min}}^2=f\left(\frac12\,;\;\frac78\,;\;\frac14\,;\,-\frac18\right)=\left(\frac12-\frac78\right)^2+\left(\frac14+\frac18\right)^2=2\left(\frac38\right)^2$$$$d_{\text{min}}=\frac38\,\sqrt2$$
~plot~ x^2 ; x-1 ; {1/2|1/4} ; {7/8|-1/8} ; [[-3|3|-2|2]] ~plot~
