Aloha :)
Die gesuchte Bahnkurve ist 1-dimensional. Wir parametrisieren sie in Zylinderkoordinaten in Abhängigkeit vom Polarwinkel \(\varphi\):$$\vec r(\varphi)=\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\a\sin\varphi\\z(\varphi)\end{pmatrix}\quad;\quad a>0\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad:\quad z\in\mathbb R$$
Aus dem Startpunkt \(P_1(0;a;0)\) und dem Endpunkt \(P_2(a;0;1)\) folgt dann:$$\vec r(\varphi_1)\stackrel!=\begin{pmatrix}0;a;0\end{pmatrix}\implies\varphi_1=\frac\pi2\;;\;z(\pi/2)=0$$$$\vec r(\varphi_2)\stackrel!=\begin{pmatrix}a;0;1\end{pmatrix}\implies\varphi_2=0\;;\;z(0)=1$$
Die Bogenlänge \(s\) entlang dieser Bahnkurve \(\vec r(\varphi)\) können wir als Integral formulieren:$$s=\int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2}\left\|d\vec r\right\|=\int\limits_{\pi/2}^{0}\left\|\frac{d\vec r}{d\varphi}\right\|d\varphi=\int\limits_{\pi/2}^{0}\left\|\begin{pmatrix}-a\sin\varphi\\a\cos\varphi\\z'(\varphi)\end{pmatrix}\right\|d\varphi=\int\limits_{\pi/2}^0\sqrt{a^2+(z'(\varphi))^2}\,d\varphi$$
Zur Anwendung der Variationsrechnung definieren wir den Integranden als Lagrange-Funktion:$$L(\varphi;z'(\varphi))\coloneqq\sqrt{a^2+(z'(\varphi))^2}$$und wenden die Euler-Lagrange-Gleichung an$$\frac{d}{d\varphi}\,\frac{\partial L}{\partial z'}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=0$$um die Funktion \(z(\varphi)\) zu finden, die das Integral extremal macht.
Da der Integrand nicht von \(\varphi\) abhängt, entfällt der Subtrahend und übrig bleibt:$$0=\frac{d}{d\varphi}\,\frac{\partial L}{\partial z'}=\frac{d}{d\varphi}\left(\frac{z'(\varphi)}{\sqrt{a^2+(z'(\varphi))^2}}\right)$$
Der Term in der Klammer muss also eine Konstante \(c\) sein:$$\frac{z'(\varphi)}{\sqrt{a^2+(z'(\varphi))^2}}=c$$
Zum Lösen dieser Differentialgleichung quadrieren wir beide Seiten:$$c^2=\frac{(z'(\varphi))^2}{a^2+(z'(\varphi))^2}=1-\frac{a^2}{a^2+(z'(\varphi))^2}=1-\frac{1}{1+\left(\frac{z'(\varphi)}{a^2}\right)^2}\implies$$$$\frac{1}{1+\left(\frac{z'(\varphi)}{a^2}\right)^2}=1-c^2\implies\left(\frac{z'(\varphi)}{a^2}\right)^2=\frac{1}{1-c^2}-1=\frac{c^2}{1-c^2}\implies$$$$(z'(\varphi))^2=\frac{a^2c^2}{1-c^2}=\text{const}$$
Daher ist \(z(\varphi)\) eine Gerade der Form$$z(\varphi)=m\cdot\varphi+b$$deren Parameter aus den Nebenbedingungen \(z(0)=1\) und \(z(\pi/2)=0\) folgen:$$b=1\quad;\quad m=-\frac2\pi $$
Damit können wir nun die kürzeste Bahnkurve angeben:$$\vec r(\varphi)=\begin{pmatrix}a\cos\varphi\\a\sin\varphi\\1-\frac{2\varphi}\pi\end{pmatrix}\quad\text{mit }\varphi\in\left[\frac\pi2;0\right]$$
