Zylinder mit möglichst großem volumen

Question

Gesucht ist ein Zylinder mit möglichst großem Volumen; dabei ist die Länge der Zylinderdiagonale mit 10cm (20cm; d cm) vorgegeben.

Gibt es auch Zylinder, die bei vorgegebener Diagonale minimales Volumen haben?


Bitte helft mir

Answer 1

Nun, das Volumen V eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h ist:

V ( r , h ) = π r ² h

Die Länge der Diagonalen d eines solchen Zylinders ist (Satz des Pythagoras):

d ² = ( 2 r ) ² + h ²

<=> h = √ ( d ² - 4 r ² )

Setzt man dies in die Volumenformel ein, so erhält man:

V ( r ) = π r ² √ ( d ² - 4 r ² )

 

Extremstellen von V ( r ) liegen höchstens an den Stellen r vor, an denen gilt:

V ' ( r ) = 0

Es ist:

V ' ( r ) = ( π r ² √ ( d ² - 4 r ² ) ) '

Ableiten mit Produktregel:

= 2 π r √ ( d ² - 4 r ² ) + π r ² ( - 8 r ) / ( 2 √ ( d ² - 4 r ² ) )

= ( 1 / √ ( d ² - 4 r ² ) ) ( 2 π r ( d ² - 4 r ² ) - 4 π r ³ )

= ( 1 / √ ( d ² - 4 r ² ) ) ( 2 π r d ² - 8 π r ³ - 4 π r ³ )

= ( 1 / √ ( d ² - 4 r ² ) ) ( 2 π r d ² - 12 π r ³ )

= ( 2 π r ( d ² - 6 r ² ) ) / √ ( d ² - 4 r ² )

 

Damit ergibt sich:

V ' ( r ) = 0

<=> ( 2 π r ( d ² - 6 r ² ) ) / √ ( d ² - 4 r ² ) = 0

Ein Bruch hat genau dann den Wert 0 wenn sein Zähler den Wert 0 hat, also:

<=> 2 π r ( d ² - 6 r ² ) = 0

<=> 2 π r = 0 oder d ² - 6 r ² = 0

<=> r = 0 oder d ² = 6 r ²

<=> r = 0 oder r = d √ ( 1 / 6 )

 

Bei r = 0 liegt ein offenbar entarteter Zylinder vor, bei dem die Diagonale senkrecht auf dessen Grundfläche steht. Das Volumen eines solchen Zylinders hat den Wert 0.

Da für V ' ( r ) an der Stelle r = d √ ( 1 / 6 ) das Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt, liegt dort ein Maximum vor.

Das maximale Volumen ist:

V_max = V ( d √ ( 1 / 6 ) )

= ( π d ² / 6 ) √ ( d ² - 4 d ² / 6 )

= ( π d ² / 6 ) √ ( d ² / 3 )

= ( π d ² / 6 ) d √ ( 1 / 3 )

= ( π d ³ / 6 ) √ ( 1 / 3 )

 

Für d = 10 cm gilt:

r = 10 √ ( 1 / 6 ) ≈ 4,08 cm

V_max = ( π 10 ³ / 6 ) √ ( 1 / 3 ) ≈ 302,3 cm ³

 

Für d = 20 cm gilt:

r = 20 √ ( 1 / 6 ) ≈ 8,165 cm

V_max = ( π 20 ³ / 6 ) √ ( 1 / 3 ) ≈ 2418,4 cm ³

 

Gibt es auch Zylinder, die bei vorgegebener Diagonale minimales Volumen haben?

Für r = 0 ergibt sich, wie oben schon erwähnt,  ein entarteter Zylinder mit dem Volumen 0.

Ein weiterer entarteter Zylinder ergibt sich, wenn gilt: r = d / 2 . Dann ist der Durchmesser des Zylinders gleich der Länge seiner Diagonalen. Ein solcher Zylinder hat die Höhe 0 und somit auch das Volumen 0.